放缩法

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放缩法是指要证明不等式A<B成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A<C，后证C<B，这种证法便是放缩法，是不等式的证明里的一种方法，其他还有比较法，综合法，分析法，反证法，代换法，函数法，数学归纳法等。

中文名

放缩法

解    释

A<C，后证C<B

属    性

不等式的证明里的一种方法

其他方法

比较法，综合法

目录

1.     1 理论依据

2.     2 常见技巧

3.     3 注意事项

1.     4 放缩法的应用

2.     ▪ 对一个式子进行估值

3.     ▪ 构造不等式

1.     5 总结

放缩法理论依据

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（1）不等式的传递性：如果A>C,C>B,那么A>B；

（2）等量加不等量为不等量；

（3）同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。

放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法 。

放缩法常见技巧

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（1）舍掉（或加进）一些项。

（2）在分式中放大或缩小分子或分母。

（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。

（4）应用函数的单调性进行放缩。

（5）根据题目条件进行放缩。

（6）构造等比数列进行放缩。

（7）构造裂项条件进行放缩。

（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。

（9）利用裂项法进行放缩。

（10）利用错位相减法进行放缩。

放缩法注意事项

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（1）放缩的方向要一致。

（2）放与缩要适度。

（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。

（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。

放缩法放缩法的应用

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放缩法对一个式子进行估值

例：求

的整数部分。

解：设原来的式子为S。那么

，故S的值介于90和90.95之间，显然其整数部分为90.

例：已知A=12345678910111213，B=312111123456789，求

的小数点后前三位数字。

解：因为

，所以其小数点后前三位数字是395.

放缩法构造不等式

例：求证：

解：

，故得证。

【注】该题的证明过程是将原式的第二项开始放大，实际上，若从原式的第三项、第四项……开始放大，可以得到更精确的结果。

例：求使得m²+m+7是完全平方数的所有正整数m的值。

解：因为

（依据条件，

为正整数）

如果有

，那么

便肯定不为完全平方数，因为两个相邻数的完全平方数之间没有其他完全平方数。

所以，可能的条件必须为

解得

然后一一查证得知，

和

符合条件。

例：已知p、q、

、

都是非负整数，且p>1,q>1,求p+q的值。

解：不妨设p≥q。则

，故

=1或0.

当

=0时，q=0.5，舍。

当

=1时，2q-1=p。又题意得q|(2p-1)，将2q-1=p代入得q|[2·(2q-1)-1]<=>q|4q-3<=>q|-3，

故q=3，p=2×3-1=5，那么p+q=5+3=8.

放缩法总结

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放缩法是一种有意识地对相关的数或者式子的取值进行放大或缩小的方法。如果能够灵活掌握运用这种方法,对比较大小、不等式的证明等部分数学试题的解题能起到拔云见日的效果,尤其针对竞赛问题,是一种解决问题的很好方法,所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程,在使用放缩法证题时要注意放和缩的"度",否则就不能同向传递了,此法既可以单独用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重要步骤 。