第六讲 组合论证及杂题
一.抽屉原理
【例1】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣 1分，不答不得分．问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？(115人)

【例2】31个同学围成一个圆圈，发现无论怎样坐，都必然有两个男同学之间至少有两个女同学而没有别的男同学。那么男同学最多有多少人？
答案：15人。如果有16个男同学，可以在他们之间插入15个女同学使得每两个男同学之间最多一个女同学；当男同学只有15个时，16个女同学放入他们之间（共15个空）必有两人之间有至少两个女同学。

【例3】将1～10随意填在右图的10个○中．试说明至少有一行的数字之和不小于15． (…)

二. 统筹与对策
【例4】有49吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是8吨，小卡车的载重量是5吨，大卡车与小卡车每车次的运费分别是72元与51元，那么运输这批货物至少要花多少元钱？
答案：5辆大卡车2辆小卡车，总共需要运费 元。

【例5】北京、上海、杭州三地同时研制成了大型电子计算机若干台，除本地应用外，北京可以支援外地10台，上海可以支援外地4台，杭州可以支援外地6台。现在决定给汉口6台，重庆8台，深圳6台。若每台计算机的运费如右表，表中运费单位是“万元”。上海、北京和杭州制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省，最省运费是多少万元？
答案：118。
按照如图所示的方式调运物品即可。


三．构造与论证
【例6】有四个算式： ； ； ； 。在每一个算式中都至少有1个偶数和1个奇数。那么12个数中一共有多少个偶数？如果没有条件的限制，在这四个算式中最少有几个偶数，最多有几个偶数？
答案：6个偶数；最少2个偶数，最多12个偶数。

【例7】有2009个孩子，每人编号为1，2，3，……2009。能否把他们排成若干行，使得每行都有一个孩子其编号是他所在行的别的孩子的编号之和。
不可能。提示：1＋2＋…＋2009是个奇数。

【例8】现有质量分别为9克和13克的砝码若干只，在天平上要称出质量为3克的物体，最少要用 只这样的砝码．
由于9克砝码的总质量和13克砝码的总质量的差必须等于3克，而9克砝码的总质量肯定是3的倍数，所以13克砝码的总质量也必须是3的倍数，那么13克砝码的个数至少有3个．那么9克砝码的总质量就至少是(1333)94个，一共是7个．
答案： 7．

四. 最值问题
【例9】某小学课外活动中，数学兴趣小组中男同学的人数比女同学的两倍少11人，语文兴趣小组中女同学的人数比男同学多21人。如果两个兴趣小组中的男生人数相等，那么语文小组中的女同学最少要比数学小组中的女同学多多少人？
答案：16。从图中可见，两个小组女生的人数差为“1”多10人，由于男生人数为“2”少11人，所以“1”至少应该等于6人。这时两个小组女生的人数差达到了最小，为6+10=16人。

【例10】黑板上写着1，2，3，4……200各一个，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数最大是多少？
199．平均数肯定比200小。如果擦去1和3，写上2再擦去2和2，仍写上2，擦去2和4，写上3，再擦去3和5，写上4；……；擦去198和200写上199。

【例11】如果可以将一个自然数的各位数字分成两组，使得这两组的和相等，那么我们称这个数是可分的。请你找出最小的一个自然数，使得它和它相邻的下一个数都是可分的。
549．
这个数的数字和与它加1后的数字和还是偶数，它的末位一定是9，前面数字和也为9，进位后还可以分为相等的两组，这个数最小为549。

五. 逻辑推理
【例12】小刚想了一个四位数，让小明猜。
小明问：“是7538吗？”小刚说：“猜对了两个，但位置不对。”
小明问：“是1269吗？”小刚说：“猜对了两个，但位置不对。”
小明问：“是3806吗？”小刚说：“猜对了两个，且位置正确。”
小明问：“是7239吗？”小刚说：“这回一个都没对。”
根据以上信息，写出小刚所写的四位数。
5816。

【例13】A、B、C、D、E、F、G7位先生参加一次聚会，期间他们中有些人相互握手，并且两个人之间至多握一次手．最后A、B、C、D、E、F回忆各自握手次数依次为6、6、5、4、4、2，并且D和E没有握手，那么G握了 次手．
答案： 5．首先可注意到A、B和每个人都握了手，由F只握了两次手可知他与C、D、E、G都没握手，从而由C握了5次手得到他只没有和F握手，即和G握过手，由于D、E没有握手且他们都没有和F握手，而他们分别握了4次手，所以他们都和G握过手，从而G仅没有和F握手，即他握了5次手．