亚洲第一位Fields奖获者小平邦彦谈数学学习方法
（转）小平邦彦谈数学—学习方法及其启示已故日本数学家小平邦彦在《数学中没有捷径》一文中，通过自己学习数学的体会，谈了他对数学学习方法的理解，认为在数学学习中没有捷径可走。这似乎和今天我们所一直倡导而且也一直热衷于的学法指导又有相悖。数学的学习究竟有没有捷径可走?有没有规律可循?有没有方法可以指导?这已成为师生的共同关注的焦点。本文拟就小平邦彦的数学学习方法谈谈对我们启示。
小平邦彦回顾了他自小学至大学学习数学的心得体会及其思维历程。笔者认为，其主要学习思想不外乎两点：其一是熟记多练(熟背公式，多做笔记和反复练习)；其二是培养对数学的感觉和理解。这两点其实是手段和目的的关系。反复练习正是为了达到悟的结果及培养对数学的理解和感觉。用中国的一句成语来说就是熟能生巧。他认为数学的学习就是先认可已规定的公理、定义、法则等，然后反复证明练习，在不知不觉中达到对其的理解。譬如他提到对分数的除法三分之二除以五分之四，为什么要用五分之四去除时可以将分子与分母交换而去乘四分之五呢?就需要说明它的理由。但他学习算术时就没有这种说明，只学习这种规则，即用分数去除时可以将分子与分母交换后去乘，然后就在反复的计算练习中不知不觉地明白了它的意思，也就记住了。因此，也就能够非常自如地进行分数的计算及应用。为了理解数学的定理，一般是一步步循着证明的论证走，但对于证明不明白怎么办?他认为只要把不明白的证明抄写在笔记本上背出来，背出来不知不觉也就明白了，至少感觉到是懂了。他认为这种将不明白的证明在笔记本反复抄写，直到背出来为止，不失为学习数学的一种方法。而正是从这个角度上来说，数学上是没有捷径可走的。
纵观他的学习数学的心得体会及思想方法，笔者认为有如下启示。
一、对数学的感觉和理解
1．小平邦彦对数学的理解
对于理解一说，小平邦彦颇有自己的见地。他认为在反复的计算练习中不知不觉地明白了它的意思，也就记住了，而所谓明白了它的意思，也并不是能够说明为什么用分数整除时可以将分子与分母交换后做乘法，而是指能够非常自如地进行分数的计算及其应用。可以说，这种理解，并非是百分之百的理解，而是知道应该怎样去做和如何灵活机动地去做，久而久之，也就渐渐地培养出了对数学的感觉。这种感觉，从某种程度上来说，也就是对数学的入门。即长久思考而不得其解的问题突然间豁然开朗，悟出了其道理。这个悟的过程，有的时候是渐进式的，即在半理解状态练习以加强理解，使理解逐渐深化；有的时候是突发式的，这便是顿悟的过程。特级教师马明老师谈到他对代数的学习及其对代数思想的理解便是顿悟的过程。那时他在学习《小代数》时，老师让他们计算长方形周长(已知长为a，宽为b)，马明老师做出2(a+b)，但他并不真懂，就问老师这个长方形究竟多长，老师看看他的书面答案，又看看他，半天说不出话来，马明老师又问：究竟有多长。老师说：你不是已经算出来了吗?马明老师坚持认为没有，老师又说：你不是已经算出来了吗?马明依然认为没有。在他想来，周长应是一个具体的数值，怎么会是一群抽象的符号呢？回家后反复思考老师的话，终于悟出一个道理：“用文字代表数，让未知数像已知数一样地参加运算”。原来代数就是这样！从此他的代数成绩直线上升，成为全班第一名。数学的学习本身就需要有悟的过程。有些知识需要老师详细讲解才能达到真正的理解，但有些知识则只可意会不可言传的，即单凭教师讲很难使学生达到理念的升华，这并不是说就完全削弱了教师的作用。而是说，学生真正去掌握知识，达到对某一数学知识的理解，并不是靠老师教出来的，而是靠学生悟出来的，将所理解的知识嵌入已有的知识结构中，也难以忘记。所谓的启发式教学、发现法教学等教学思想，其本质也无非是在教师的指导下，由学生去发现问题、解决问题以达到对问题的理解和对知识的领悟。
2．东西方数学教育家对数学理解的不同观点
东西方数学学者及教育家对于先理解后接受知识，还是先接受知识再理解其意义提出异议。在第十二届国际数学教育心理学会议上，中国学者(丁尔升、张奠宙等)，认为不要强调理解而忽视练习，其实理解了百分之六七十，就可以操作训练，在练习中增强理解。这和小平邦彦对数学学习的理解观点是相同的。而这一观点却受到英国资深学者Harte的反对。她说，对理解的东西进行操练才有意义，不理解的东西加以操练，时间一久就会忘记。这种歧义的产生可能缘于东西方文化背景、考试体制、教育方式以及思维特征的不同。日本和中国一样，也是考试盛行的国家。虽然他们进大学并不难，但进好大学仍有困难。而中国的考试文化导致应试教育更使得中国在教育上多强调反复操练。因此在对学习方法的理解上，东方侧重于从练习中理解，在半理解的基础上进一步练习以深化理解。而西方则更侧重于在完全理解的基础上再去练习、应用。笔者认为，作为东方文化教育背景下的中国教育，没有必要也不可能象西方国家所倡导的方法去学习数学。依据我们的文化背景和思维方式及特征，在操练前要达到对知识的完全理解是极少可能的。譬如口令立正，士兵未必理解什么是立正，但在强制下教会了，以后一旦听到“立正”口令，便会自动去做。这也恰是从做中理解的例子。目前，一些学生对数学感到难学，难以理解，且又容易钻“牛角”。如为什么要定义这个公理?公理为什么是这样而非那样表达?零为什么不能做分母?等一些在中学阶段难以接受的问题。教师除了要向学生解释这些原因，打开他们的思维结之外，还应让他们了解到在中学阶段要达到对问题的百分之百的理解是不可能的。但只要在练习中渐渐领会到数学的精神、思想和方法以达到灵活运用，那也就是我们所认为的理解了。
二、熟能生巧和题海战术
重新回顾小平邦彦的数学学习历程，无不贯穿着一个思想：反复操练、反复练习。他的这种思想似乎又和中国传统的题海战术如出一辙(即便在今天的数学教学当中，题海战术仍占有很大市场)。我们不否认题海战术有些成功之处，但其与小平邦彦的所说的反复练习还是有本质区别的。小平邦彦所提出的在反复练习中不知不觉理解，究其实质是熟能生巧。熟能生巧中的“巧”是反映了思维的创新性，是多次量变而引起质变的一个飞跃过程。正如灵感机制的发生，长久思考一个问题(包含有反复思考之意，有重复性)，最终会产生灵感，这便是一个质变的过程。熟能生巧又遵循了心理学中的S—R反应理论。前提条件是要反复操练以引起刺激发生反应，这种刺激—反应达到一定程度，就发生突变，即从感性的认识达到理念的升华。熟能生巧与题海战术所不同的是前者有目的性。是为了达到对知识的理解和融汇贯通的程度而暂时进行的操练，而题海战术则是为应付考试去猜题、押题，都是将一大堆题型归类，总结成解题术，制成题让学生套模式去做，学生在根本不了解其解题思维的原则下进行大规模操练，只会有弊无利，造成学生学习时间和精力的浪费。而且这种题海战术并不是以达到学生对知识的真正理解为终极目标，而是为了考试需要，可以说是方法不当且操练过度，它使学生的学习活动停留在“重复”、“模仿”，进行“简单再生产”的水平上，从而造成了数学学习的亏缺，“题海”则是对自身造成亏缺的一种补救。如果说“题海”也能训练出“好”的学生，事实并非如此。“好”的学生之所以成为“好”的学生正在于他们冲破禁锢，挣脱出来进行独立自主地思维的结果。对小平邦彦所提倡的反复练习，我们不应将其理解为大捣题海战术，而是为生“巧”而进行的熟练，为培养对数学的感觉而进行的有目的的反复练习。
三、数学的思想、精神和方法
从小平邦彦对数学的理解角度来看，数学的学习是没有捷径可走的，熟能生巧可以说是一条古老而又唯一捷径。然而，从获取知识、通往知识高峰的道路上又是有一些捷径可走的，这便是数学的精神、思想和方法。小平邦彦认为数学学习方法即是反复练习便会不知不觉明白。而由于各人思维风格水平、知识结构和理解能力等的不同，这种不知不觉明白却不是每人都能够体验或经历到的，尤其是一些学困生，他们对数学无论怎样练习，也始终难以找到对数学的感觉。这除了小平邦彦所言及的反复操练以外，还需要把握数学的精神、思想和方法以及一些思维策略上的指导。所谓的数学学法指导意义正在于此。日本数学家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》一文中针对许多人感到数学难学的现象，指出数学有两大特征：一是数学逻辑性强，知识系统性强，环环相扣，必须依其道而行。若反其道而行，则无论多么聪明的人都无法理解它；二是为了有助于“人类思想表达的经济化”，数学使用了比其它任何科学都要多得多的术语和记号。数学的这两大特征便决定了数学的学习不仅要依其道而行，使前继知识成为后继知识的生长点之外，还要学会数学交流，能够尽可能完全地理解数学语言。许多同学感到学习数学困难，一个根本原因在于没有把握到数学的这两个特征，因而不懂得提前预习和及时巩固的作用，不懂得去揭示数学知识之间的内在联系从而把握其本质。其次在数学中还有一些策略、思想和思维方法，诸如抽象、概括、化归、数形结合、数学模型、归纳猜想、演绎、分类、类比、特殊化和一般化、换元法、待定系统法和配方法等等，以及升格、降格(退化)、缩格(质化)、更格和分格策略，这些用以指导学生有效学习数学的思维策略和方法都值得他们熟练掌握．把握各种策略、方法的内在核心，再辅以小平邦彦所提的反复练习以求得对数学的真正理解，我想这便是小平邦彦所谈的数学学习方法所引发的对我们的启示吧。
PS:作为福利 附件挂个小平邦彦编写的高中数学1，如果大家感觉好，我会把加外三本也挂出来
好长一段文字，看着累。。。 学问做到一定高度就不是靠捷径能够达到的。
这些想法挺有意思的，甚至非常符合高中数学及竞赛的特点 数学是需要思路的，越搞越是。
感觉借鉴意义不大。
这是天生的么？还是机缘巧合 说白了，就是在数学学习上面，有的高度是通过大量系统性的训练能够达到，而有的高度就真的是要依赖天赋才可以。 如果数学只是达到中上水平，靠熟能生巧也行，就是效率低点。
但真的要学到通达，我还是认同先理解再辅助上练习。 其实个人感觉，每个人的理科思维是有潜力极限的，通过高效地刷题就是为了更接近自己的潜力极限 文字很有深度，思想很受启发，真正的思维，只可意会，不可以言传！！！ 感觉日本人做什么都是“没有捷径”，换成另一个数学强国比如法国人，可能又是另一种说法了 很受启发
学习了！！ 路过，学习。 学习了，真正要做到是不容易的，要有探究精神。 这种帖子，更应该贴在小学版块。 确实讲的有道理，只是比较少的人去思考和应用这些道理吧。都想着快速出成绩了。
学问做到一定高度就不是靠捷径能够达到的。 各人路径不同。 马明的书法很赞，而且为人坦荡。
他向老师询问周长的故事，让我联想起他作为数学老师，上公开课时忘记了思路，却大大方方地请听课老师上台来讲的轶事。
但文中举例说他在代数上的这个顿悟过程，不太理解。
下载了看了一下，非常好的教材！ pinobear 发表于 2018-10-1 11:59
感觉日本人做什么都是“没有捷径”，换成另一个数学强国比如法国人，可能又是另一种说法了
刚好跟我们中国人做什么都喜欢“耍小聪明”形成鲜明对比！ 小平邦彦自述抄书：
在我看来，数学书（包括论文）是最晦涩难懂的读物。将一本几百页的数学书从头到尾读一遍更是难上加难。翻开数学书，定义、公理扑面而来，定理、证明接踵而至。数学这种东西，一旦理解则非常简单明了，所以我读数学书的时候，一般都只看定理，努力去理解定理，然后自己独立思考数学证明。不过，大多数情况下都是百思不得其解，最终只好参考书中的证明。然而，有时候反复阅读证明过程也难解其意，这种情况下，我便会尝试在笔记本中抄写这些数学证明。在抄写过程中，我会发现证明中有些地方不尽如人意，于是转而寻求是否存在更好的证明方法。如果能顺利找到还好，若一时难以觅得，则多会陷入苦思，至无路可走、油尽灯枯才会作罢。按照这种方法，读至一章末尾，已是月余，开篇的内容则早被忘到九霄云外。没办法，只好折返回去从头来过。之后，我又注意到书中整个章节的排列顺序不甚合理。比如，我会考虑将定理七的证明置于定理三的证明之前的话，是否更加合适。于是我又开始撰写调整章节顺序的笔记。完成这项工作后，我才有真正掌握第一章的感觉，终于松了一口气，同时又因太耗费精力而心生烦忧。从时间上来说，想要真正理解一本几百页的数学书，几乎是一件不可能完成的任务。真希望有人告诉我，如何才能快速阅读数学书。 挺好，顶你。 Mark一下:):):):)
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