一道代数题
大家试试，看有没有简洁的做法。是需要用三元韦达定理吗？ nimo1981 发表于 2023-3-10 16:17
是需要用三元韦达定理吗？
需要用的。 本帖最后由 hearts 于 2023-3-10 17:35 编辑
可以直接解出来，
作图法（或者取特殊值法）可判断出三个根都在 （-2，+2）这个区间之间。
(具体： f(-2)=-1, f(-1)=1, f(0) = -1, f(1)=-1, f(2)=7, 可知3个根分别在 (-2,-1), (-1,0), (1,2)之间 )
令根为 m = 2*cos t
令 u = e^(i t) = cos t + i sin t
令 u^(-1) = e^(-i t) = cos t - i sin t
m = 2*cos t = u + u^(-1)
m^2 = u^2 + u^(-2) + 2
m^3 = u^3 + u^(-3) + 3u^2 u^(-1) +3u u^(-2)=u^3+u^(-3)+3u+3u^(-1)
已知 f(m) = 0
m^3+m^2-2m-1 = 0
整理得
u^3+u^2+u+1+u^(-1)+u^(-2)+u^(-3) = 0
等比数列求和
u^(-3) * ( 1 - u^7 ) / (1 - u) = 0
可解得
1-u^7 = 0
可知 t = 2k pi / 7
k = 1, 2, 3
(当k = 4, 5, 6的时候解是相同的, k=0时分母 1-u=0舍掉）
三个根分别为2*cos 2pi/7, 2*cos 4pi/7, 2*cos 6pi/7
按照彭翕成老师的说法
先用高等方法算一下看看结果。
才确定是不是有初等数学的方法 第一感是用韦达定理的推论和三个数的立方公式，但是这2个都超纲了，即使这样，还是没做出来。 字数 等一个简洁的做法 好难 紫薯紫薯 本帖最后由 小蝴蝶爸爸 于 2023-3-11 12:06 编辑
尝试过
三项立方和公式
失败
给个初等计算的解法，计算量略大。
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