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huhuyang2010 发表于 2023-6-30 20:10

一道圆题

涵涵爸fighting 发表于 2023-6-30 22:40

辅助线，四点共圆，懒得证明了

huhuyang2010 发表于 2023-7-2 10:53

比较难的好题。
我贴一个有特色的证法。

做B、C、D、E、O关于A的对称点B'、C'、D'、E'、O'。
BCDE共圆O(r)，显然B'C'D'E'共圆O'(r)
设BE和C'D'交于G，B'E'与CD交于G'，显然AG=AG'

BCDE共圆
=> BA*CA=DA*EA
=> BA*C'A=D'A*EA
=> BC'D'E共圆
=> GB*GE = GC'*GD' = GO^2-r^2 = GO'^2-r^2
=> GO=GO'
=> G在直线l上
所以G与M重合。同理G'与N重合，AM=AN。

一麻麻 发表于 2023-7-2 21:55

这不就是著名的蝴蝶定理吗？

huhuyang2010 发表于 2023-7-2 23:23

一麻麻 发表于 2023-07-02 21:55
这不就是著名的蝴蝶定理吗？

没错，圆外的蝴蝶定理

一麻麻 发表于 2023-7-4 20:41

huhuyang2010 发表于 2023-7-2 10:53
比较难的好题。
我贴一个有特色的证法。


这是你的原创证法还是从水木上搬运过来的？

huhuyang2010 发表于 2023-7-4 20:53

一麻麻 发表于 2023-07-04 20:41
这是你的原创证法还是从水木上搬运过来的？

这个不是我原创

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