一道数论题

huhuyang2010

n为任意不小于2的整数，证明：存在无穷多个正整数，不能表示为一个正整数的n次方和一个质数之和。

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pmpm

蹲个答案……

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Anderson

我有一个绝妙的证法，可惜…

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miaolihong

命题可以等效为，在a^n和a^(n+1)之间，存在至少一个合数

huhuyang2010

Anderson 发表于 2023-05-30 07:58
我有一个绝妙的证法，可惜…

费马在世，愿闻其详

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huhuyang2010

哪位可以给个证明。
我卡在了，(a+1)^p - a^p不恒为质数（a为正整数，p为质数）。

eulerphi

a^n-a^(n-1)=a^(n-1)(a-1);
n>=2,a^(n-1)不等于1，a^(n-)(a-1)必定不为素数。那么可找到无限多的a^n+pq

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huhuyang2010

任取正整数b，假设满足b^n=a^n+p，p为质数。
p = b^n-a^n = (b-a)(b^(n-1)+ ....)
因 b-a >= 2，p必为合数，所以必有b-a = 1, a= b-1。
若 p = b^n - (b-1)^n为合数，则无穷个b^n都符合要求（设合数的一个质因子为p1，则b+kp1（k为正整数)都能使p含p1因子）
若 p = b^n - (b-1)^n 为质数，则重新选 b'=b+kp  (k为正整数)，有 p' = b'^n - (b'-1)^n ≡ 0 (mod p) 且p' > p ，即p'为合数。
所以无穷个b^n均符合要求。

txyos

Anderson 发表于 2023-05-30 07:58
我有一个绝妙的证法，可惜…

可惜手机没电了，流量不够了。

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