一道自招难度的概率题

本帖最后由 huhuyang2010 于 2023-8-28 06:56 编辑

解答过程如下：
最后一个不是A校学生，只能是B或C，概率分别是B/(A+B+C),C/(A+B+C)。
不失一般性，考虑最后是B,等价于求A和C谁是最后一个，概率分别是A/(A+C),C/(A+C)。
所以总概率f(A,B,C)=B/(A+B+C)*C/(A+C)+C/(A+B+C)*B/(A+B)=BC/(A+B+C)*(1/(A+B)+1/(A+C))。
可以通过数学归纳法的角度，再double验证。
如果A+B+C=K，且A+B+C小于K时f(A,B,C)是上面的表达式，则第一个学生三种情况，分别相加，总概率
f(A,B,C)=A/(A+B+C)*f(A-1,B,C)+B/(A+B+C)*f(A,B-1,C)+C/(A+B+C)*f(A,B,C-1),进一步化简后，表达式对A+B+C=k也成立！
显然K=1时也成立，所以f表达式正确。

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huhuyang2010 · 发表于 2023-8-27 12:18

不是什么抽屉原理，也不是小奥的难度

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weblinker · 发表于 2023-8-27 18:17

尝试用计算排列组合的方法来解。等效成 ABC 三组共 6 人(A1B1B2C1C2C3)排在 1-6 号 6 个位置上，考虑 A 的位置，共有 4 种情况满足题目要求，分别是 1、A 排 1 号位，剩下位置任意排列，共有 P5=5!=120 种；
2、A 排 2 号位，剩下位置任意排列，也是 P5=5!=120 种；
3、A 排 3 号位，其中只有一种情况不符合题意，即 1、2 号位为 B1 和 B2，4、5、6 号位任意排列，因此满足题意的有 P5-2*P3=5!-2*3!=108 种；
4、A 排 4 号位。满足题目要求情况下必须在 5、6 号位分别排一个 B 组和一个 C 组，剩下的 1、2、3 号位任意排列，共有 2*3*P3*2=72 种；

计算总概率为(120+120+108+72)/P6=420/720=7/12

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huhuyang2010 · 发表于 2023-8-27 18:33

weblinker 发表于 2023-08-27 18:17
尝试用计算排列组合的方法来解。等效成 ABC 三组共 6 人(A1B1B2C1C2C3)排在 1-6 号 6 个位置上，考虑 A 的位置，共有 4 种情况满足题目要求，分别是 1、A 排 1 号位，剩下位置任意排列，共有 P5=5!=120 种；
2、A 排 2 号位，剩下位置任意排列，也是 P5=5!=120 种；
3、A 排 3 号位，其中只有一种情况不符合题意，即 1、2 号位为 B1 和 B2，4、5、6 号位任意排列，因此满足题意的有 P5-2*P3=5!-2*3!=108 种；
4、A 排 4 号位。满足题目要求情况下必须在 5、6 号位分别排一个 B 组和一个 C 组，剩下的 1、2、3 号位任意排列，共有 2*3*P3*2=72 种；

计算总概率为(120+120+108+72)/P6=420/720=7/12

此方法略不严谨，如果答案不是比例齐次就会出错

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weblinker · 发表于 2023-8-27 18:37

本帖最后由 weblinker 于 2023-8-27 18:45 编辑

huhuyang2010 发表于 2023-08-27 18:33
此方法略不严谨，如果答案不是比例齐次就会出错

确实不严谨，不过填空题考虑用最快的算法

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weblinker · 发表于 2023-8-27 18:44

huhuyang2010 发表于 2023-08-27 12:18
解答过程如下：
最后一个不是A校学生，只能是B或C，概率分别是B/(A+B+C),C/(A+B+C)。
不失一般性，考虑最后是B,等价于求A和C谁是最后一个，概率分别是A/(A+C),C/(A+C)。
所以总概率f(A,B,C)=B/(A+B+C)*C/(A+C)+C/(A+B+C)*B/(A+B)=BC/(A+B+C)*(1/(A+B)+1/(A+C))。
可以通过数学归纳法的角度，再double验证。
如果A+B+C=K，且A+B+C小于K时f(A,B,C)是上面的表达式，则第一个学生三种情况，分别相加，总概率
f(A,B,C)=A/(A+B+C)*f(A-1,B,C)+B/(A+B+C)*f(A,B-1,C)+C/(A+B+C)*f(A,B,C-1),进一步化简后，表达式对A+B+C=k也成立！

不失一般性，考虑最后是B,等价于求A和C谁是最后一个

这句是不是应该说考虑 B 是最后一个，A 和 C 谁是最后第二个？

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艾琳28 · 发表于 2023-8-27 19:34

想知道是哪个级别学校的自招题？

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huhuyang2010 · 发表于 2023-8-27 19:41

weblinker 发表于 2023-08-27 18:44
不失一般性，考虑最后是B,等价于求A和C谁是最后一个

这句是不是应该说考虑 B 是最后一个，A 和 C 谁是最后第二个？

不是。
B最后一个，就只要看A和C的分布次序了，剩余的B不影响结果了

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天天想你2000 · 发表于 2023-8-27 22:17

答案绝对没有这么简单，楼上的二位显然不懂概率，古典概型非常不好理解，没两把刷子还是不要碰了。

wendy05 · 发表于 2023-8-29 21:03

可不可以这样理解？A最后一个完成：第60个是A，或者A第二个完成:第59个是A,减去这两种情况即是A第一个完成的概率

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huhuyang2010 · 发表于 2023-8-29 22:29

wendy05 发表于 2023-08-29 21:03
可不可以这样理解？A最后一个完成：第60个是A，或者A第二个完成:第59个是A,减去这两种情况即是A第一个完成的概率

漏掉了一些情况，比如第58是A,但后面只剩下B了，即C在58之前挑完了

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weblinker · 发表于 2023-8-31 23:18

wendy05 发表于 2023-08-29 21:03
可不可以这样理解？A最后一个完成：第60个是A，或者A第二个完成:第59个是A,减去这两种情况即是A第一个完成的概率

思路完全正确，但 A 第二个完成并不等于 59 一定是 A，参考前面楼主给出的分析，应该等于 B/(A+B+C)*A/(A+C)+C/(A+B+C)*A/(A+B)，但这样算不如直接计算 A 第一个完成的概率了。

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weblinker · 发表于 2023-8-31 23:19

天天想你2000 发表于 2023-08-27 22:17
答案绝对没有这么简单，楼上的二位显然不懂概率，古典概型非常不好理解，没两把刷子还是不要碰了。

没那么玄乎，就是个条件概率的计算问题

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kaikle · 发表于 2023-9-6 18:10

本帖最后由 kaikle 于 2023-9-6 18:15 编辑

weblinker 发表于 2023-8-27 18:17
尝试用计算排列组合的方法来解。等效成 ABC 三组共 6 人(A1B1B2C1C2C3)排在 1-6 号 6 个位置上，考虑 A 的 ...

我咋觉得你的等效没漏洞阿？
受你启发，
我的思路是把4561 的全排列排好（这里要乘以3的阶乘）后插入23序列。插入有5个空取2个 + 23在5个空里取1个放一起，再乘以 23的排列（乘以2）
之后，再考虑第二种情况， 23在1前（最后排除重复计算的23，456都在1前）
231（321）这三个数排好后（2的全排列），后面插入3个有点复杂，就不算了

不知道是不是比你方法复杂点。后面3个队伍里再插入3个考虑起来有点累，其实可能没那么复杂，可能是6的全排列除以3的全排列。
最后扣除重复部分不难，应该是1再最后，前面是5的全排列。

kaikle · 发表于 2023-9-6 18:16

huhuyang2010 发表于 2023-8-27 18:33
此方法略不严谨，如果答案不是比例齐次就会出错

没理解这句话。

kaikle · 发表于 2023-9-6 20:55

kaikle 发表于 2023-9-6 18:10
我咋觉得你的等效没漏洞阿？
受你启发，
我的思路是把4561 的全排列排好（这里要乘以3的阶乘）后插 ...

第一种， C组在前， 6! /4! * 3! = 180 (假设4561固定顺序，则6!/ 4!, 然后 456可排列，要乘以3!)
第二种， B组在前， 6! /3! * 2! = 240 (假设231固定顺序，则6! / 3!，然后2，3可排列，乘以2!)
以上两种重复的情况是 1在最后，重复的可能性是 5! = 120
算出B, C组在先的概率是（180+240 -120） /6! = 300/720 = 5/12
则A组在先概率是1-5/12 = 7/12

kaikle · 发表于 2023-9-7 09:09

是否能证明，只要学生数比例维持不变，变动学生数的数量，某个班先完成的概率不变。

huhuyang2010 · 发表于 2023-9-7 09:51

kaikle 发表于 2023-9-6 18:16
没理解这句话。

比如f(A,B,C)=(A+B+1)/(A+B+C)就不是齐次的，导致f(KA,KB,KC)不等于f(A,B,C)

著名导演 · 发表于 2023-9-7 09:54

有公式的，其实就是看你有没有做过类似的题型

天天想你2000 · 发表于 2023-9-7 22:51

本帖最后由天天想你2000 于 2023-9-7 22:54 编辑

weblinker 发表于 2023-8-31 23:19
没那么玄乎，就是个条件概率的计算问题

有兴趣的人可以写个程序跑一下，看看实际结果和你说的一不一样。

weblinker · 发表于 2023-9-7 23:07

天天想你2000 发表于 2023-09-07 22:51
本帖最后由天天想你2000 于 2023-9-7 22:54 编辑

有兴趣的人可以写个程序跑一下，看看实际结果和你说的一不一样。

既然你都说了那么多不如去跑一遍给大家看看呗，人家就一道填空题而已……

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Runner · 发表于 2023-9-8 09:34

应该是小学奥数的范畴

[初中数学] 一道自招难度的概率题

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