求教一道AMC10题目求教 2021 spring 第23题

江上渔者十八 · 发表于 2023-10-10 23:16

这个题目说圆球在正方形内部可以8-1/2-1/2=7，圆心在7*7的正方形里面，这个圆心在的位置当然没错，不过覆盖的面积不是7*7啊。这种概率题目只看圆心组成的图形的吗？不是应该看正方形面积8*8减去四个角黑色部分之外的来做分母吗？分母比49要大一点。

这个以圆心为轨迹的计算是AMC10的惯例吗？

答案在分析硬币落在4个角和里面边长2根号2小正方形的时候也是圆心组成的面积来计算的。不是按照实际图形的面积来计算？

江上渔者十八 · 发表于 2023-10-10 23:18

该题目答案是68. 即（44+24乘以根号2+派）/196；a+b=44+24=68.

huns · 发表于 2023-10-11 07:23

题目没交代清楚吧

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huhuyang2010 · 发表于 2023-10-11 08:26

题目写得很清楚了，硬币有部分落到黑色区域的古典概率=能和黑色区域有交集的硬币圆心的区域面积/正方形内硬币圆心可能出现的地方面积
就是红色框内面积/49。
严格说红色的部分边界是轨迹族的包络。

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江上渔者十八 · 发表于 2023-10-11 09:31

本帖最后由江上渔者十八于 2023-10-11 09:35 编辑

huhuyang2010 发表于 2023-10-11 08:26
题目写得很清楚了，硬币有部分落到黑色区域的古典概率=能和黑色区域有交集的硬币圆心的区域面积/正方形内硬币圆心可能出现的地方面积
就是红色框内面积/49。
严格说红色的部分边界是轨迹族的包络。

谢谢指点。
如下图，先说分母：硬币落在8*8的正方形内不应该是64减去角上四块黑色区域的面积吗？7*7还是没想明白。硬币在8*8正方形的轨迹组合就是64减去四块黑色的呀。除了这四块黑色的，硬币都能覆盖的啊，硬币覆盖面积是大于7*7的。

难道amc10的面积概率规则是只看圆心轨迹组成的面积？

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huhuyang2010 · 发表于 2023-10-11 09:43

对于圆，圆心位置是唯一决定圆的摆放位置的要素。
不能用圆占的面积来算，因为某些区域可以同时被“能和黑色区域有交集的硬币”与“不和黑色区域有交集的硬币”占据，不独立。

江上渔者十八 · 发表于 2023-10-11 18:13

huhuyang2010 发表于 2023-10-11 09:43
对于圆，圆心位置是唯一决定圆的摆放位置的要素。
不能用圆占的面积来算，因为某些区域可以同时被“能和黑色区域有交集的硬币”与“不和黑色区域有交集的硬币”占据，不独立。

这个解释清楚, 那这类题目潜规则就是按照硬币圆心画出的区域的面积来计算；分子分母都是。估计也是amc的规则之一了。我只看到这一题，估计其他年份也有类似的。
谢谢高手。

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