一道趣题：求能覆盖给定三角形的最小圆

huhuyang2010

请给出论证过程。

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一麻麻

我家大娃的答案

锐角或直角三角形：三角形的外接圆

钝角三角形：以钝角的对边为直径的圆

Anderson

这不就是三角形外心的定义么？

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huhuyang2010

一麻麻 发表于 2023-11-01 20:18
我家大娃的答案

锐角或直角三角形：三角形的外接圆

钝角三角形：以钝角的对边为直径的圆

对的。过程可以贴下，推到完全对不是那么容易。

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一麻麻

huhuyang2010 发表于 2023-11-1 22:25
对的。过程可以贴下，推到完全对不是那么容易。

娃说挺容易的，等娃晚上回来贴个证明

huhuyang2010

我给一个推导。
引理：覆盖三角形的最小圆，至少经过三角形其中两点。
首先△ABC的最小覆盖圆，一定经过A、B、C中至少一个点。因为如果不经过，OA、OB、OC都小于R，圆心O不变，取R'=max(OA,OB,OC)<R，矛盾！
不妨设圆O经过A点，但不经过B和C，即OA>OC, OA>OB。做AB和AC中垂线DE、FG，分别交OA于点E和G。
取靠近O点那个交点（两点重合就任取1个），不妨设E点。易得EB=EA>EC，因此以E为圆心，EA<OA为半径的圆可以覆盖，矛盾！引理成立。

进一步，如果∠C为锐角，圆O一定经过C点，因为如果不经过C，延长BC交圆于M，2R=BC/sin(∠M)>BC/sin(∠A)，矛盾！
如果∠C为钝角和直角，2R=OA+OB≥AB，即R≥AB/2，等号可以取得，因为此时O在AB中点，且OC≤1/2AB（证明简单，比如倍长中线或△AOC、△BOC中至少一个大角对大边）。
结论：△ABC为锐角三角形，最小覆盖圆为外接圆，为直角或钝角三角形，最小覆盖圆直径为最长边。