一道圆综合题

huhuyang2010 · 发表于 2024-2-7 20:03

锐角△ABC，AB≠AC，外心为O，内心为I，垂心为H，BC边的中点为M，AI延长线交圆O于N，BC边与圆I的切点为D，ND与圆O相交于另一点E，H关于点M的对称点为F。
求证：EIF三点共线。

自招难度，大家试试。

huhuyang2010 · 发表于 2024-2-10 20:38

贴个证法。

如图，易知H关于BC的对称点G在圆上，G关于OMN的对称点也在圆上，即为F，AOF为直径。
∠BEN=∠DEC，∠BNE=∠DCE，所以△BNE∽△DCE，BN/NE=CD/CE。
鸡爪定理得NI=BN， NI/NE=BN/NE=CD/CE=CJ/CE, ∠ANE=∠ACE =》△INE∽△JCE。
所以∠AIE=∠AJE，AIJE四点共圆，AE⊥IE，又AE⊥FE，所以EIF三点共线。

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[初中数学] 一道圆综合题

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