来道数论题

huhuyang2010

The equation  x1^2+x2^2+...+xn^2 = kx1x2...xn  has no solutions in positive integers if k > n >1.

大家可把证明晒出来切磋，晚点我给个proof。

huhuyang2010

proof:
Fix k, let x1>=x2>=x3…>=xn. Choose the solution with the minimal sum(x1,x2,…,xn).
Fix xi(i>1), then it is quadratic equation of x1.
According to Vieta theorem, another root(positive integer obviously) t=kx2x3…xn-x1=(x2^2+x3^2+…+xn^2)/x1>=x1, because (x1,x2,…,xn) holds the minimal sum(x1,x2,…,xn).
So kx1x2…xn=x1^2+x^2+…+x^n<=2(x2^2+x3^2+…+xn^2)<=2(n-1)x1x2 (1)
Case1:
x3=x4=…=xn=1, kx1x2<=2(n-2)+2x1x2 =>(n-1)x1x2<=(k-2)x1x2<=2(n-2), which induces x1=x2=1 and k=n. A contradiction!

Case2:
At least one xi>=2(i>2).
2(n+1)x1x2<=kx1x2…xn<=2(n-1)x1x2 (according to (1) inequality).Another contradiction!

Hence the result follows.

背景拓展：
这个方法的经典例题是1988年一道传奇的IMO问题（参见附件图片）
“下一问题是1988年FRG（联邦德国）提出的. 澳大利亚的选题委员会的六人中无人（用初等方法）解出此题. 其中两位成员Georges Szekeres和他的妻子都是有名的解题和命题专家. 因为这个数论题，它（组委会）提给澳大利亚最著名的四位数论专家，没有一人在六小时内（用初等方法）解出此题. 选题委员会把这道题交给29届IMO主试委员会时标记了双星号，表示这是一道极难题. 在经长时间讨论后，主试委员会最终把这题选作竞赛的压轴题. 有11名学生给出了完整的解答.“
当年的参赛选手中日后有3位获得了菲尔兹奖，包括Terrence Tao和吴宝珠. Tao在此题中仅得1分，而保加利亚的选手Emanouil Atanassov巧妙地运用韦达定理和无穷递降法给出了证明，我们将这种方法总结为“韦达跳跃”（vieta jumping).

无穷递降法基于最小数原理（即正整数集的任何一个非空子集都有惟一的最小元）。
无穷递降法这个强大的工具由费马提出：如果要否定某个与正整数有关的命题 P(n)，那么，
第一，假定命题P(n)对n=n0成立，且n0 是符合条件的最小正整数；
第二，由P(n0)为真推出P(n1)为真，且n1<n0（或为了保证n1>=n0而导致冲突），这样便说明了矛盾。

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