转自“努力长角”的帖子
这实际上是一道博弈论的题目。详细讨论本题之前，我们先了解一些博弈论的相关基础知识：
(一)巴什博奕(Bash Game):
只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个.最后取光者得胜.
若(m+1) | n，则先手必败，否则先手必胜。
显然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜.因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=(m+1)r+s,(r为任意自然数,s≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走k(≤m)个,那么先取者再拿走m+1-k个,结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜.总之,要保持给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜.
(二)威佐夫博奕(Wythoff Game):
有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜.
奇异局势下先手必败，非奇异局势下先手必胜。
这种情况下是颇为复杂的.我们用(ak,bk)(ak ≤bk ,k=0,1,2,...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势.前几个奇异局势是：(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20).
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而bk= ak + k,奇异局势有如下三条性质：
1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中.
由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 .所以性质1.成立.
2、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势.
事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势.如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势.
3、采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势.
假设面对的局势是(a,b),若b = a,则同时从两堆中取走a 个物体,就变为了奇异局势(0,0)；如果a = ak ,b > bk,那么,取走b - bk个物体,即变为奇异局势；如果a = ak , b < bk ,则同时从两堆中拿走ak - ab - ak个物体,变为奇异局势( ab - ak , ab - ak+ b - ak)；如果a > ak ,b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可；如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj (j < k),从第二堆里面拿走b - bj 即可；第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走b - aj 即可.
从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜；反之,则后拿者取胜.
那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：
ak =[k(1+√5)/2](下取整), bk= ak + k (k∈N)
奇妙的是其中出现了有关黄金分割数的式子：(1+√5)/2 =1.618...,若两堆物品个数分别为x,y(x<y)，则k=y-x，再判断x是否等于[(y-x)*( √5+1)/2] 即可得知是否是奇异局势。
(三)尼姆博奕(Nimm Game):
有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜.
这种情况最有意思,它与二进制有密切关系,我们用(a,b,c)表示某种局势,首先(0,0,0)显然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败.第二种奇异局势是(0,n,n),只要与对手拿走一样多的物品,最后都将导致(0,0,0).仔细分析一下,(1,2,3)也是奇异局势,无论对手如何拿,接下来都可以变为(0,n,n)的情形.
计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号xor表示这种运算.这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0.先看(1,2,3)的按位模2加的结果：
1 =二进制01
Xor 2 =二进制10
Xor 3 =二进制11
———————
0 =二进制00
对于奇异局势(0,n,n)也一样,结果也是0.
任何奇异局势(a,b,c)都有a xor b xor c =0。该结论可以推广至若干堆，都是成立的。
如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢？假设a < b< c,我们只要将c 变为a xor b,即可,因为有如下的运算结果: a xor b xor (a xor b)=(a xor a) xor (b xor b)=0 xor 0=0.要将c 变为a xor b,只要从c中减去c-(a xor b)即可.
小学奥数里以往出现此类题目，通常都是相对简单的第一类巴什博奕，而本题是较为复杂的第二类威佐夫博奕。第三类尼姆博奕需要逻辑代数知识，不太可能出现在数学竞赛中。
显然，不可能要求小学生有博弈论知识、懂得奇异局势。本题是作为智巧题出现，应该是希望考生能够从最终结果反推出一个方案。小学生的思路应该是这样的：
0-1或1-1都可以一次拿完，所以要取胜，要给对方留1-2，由于11-13无法直接取成1-2，还需要继续推论；
1-x或2-x都可以被对方取成1-2，不能选，只能从3-3开始考虑。3-3显然不行，3-4也会被对方取为1-2，也不行。3-5则可以，对方怎么取都会落入前面已经否定过的局势之中，而11-13各取8个，就可以得到3-5。这样本题就得到了解决。
如果按上面办法继续推论下去，还可以发现4-7、6-10、8-13等必胜局势，其中8-13也是符合本题要求的，但必须先得到3-5这个答案，再在3-5的基础上再做3次推理。从小学生角度，不太可能有人得到这个答案。作为智巧题，得到一种解决办法就已经足够。
出题人应该是知道威佐夫博奕的，也应该知道前几个奇异局势(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)里还有8-13这个答案。开始没有把它放入答案，一种较大的可能是以小学生标准看不作期望，一种较小可能是疏忽。亚太比赛当晚，也在e度出没的@chuanjin 家长在千帆论坛发帖指出了8-13这个答案，主办方应该是看到那个帖子后补充了这个答案。这个补充是从严谨角度出发，我相信没有小朋友做出这个答案。如果谁家小朋友真做出了，请骄傲地宣布一下。
个别家长对更正答案有异议，但应当说无论是有意为之还是无意疏忽，被指出答案不够严谨时，补充是正常的。
少数家长认为既然有两个答案，应当全部给出才能算对。对求解题这个标准是对的，对智巧题不能这样要求，例如图形剪拼，可以有多种答案，不可能要求穷举每种答案。以本题而言，不可能要求小学生解决了问题后，还要继续推理三轮做出第二个答案。
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发表于 2014-2-25 21:43
楼主
，可惜只有入围奖了
