本帖最后由 19871001 于 2024-11-8 11:28 编辑
作者简介： 尹充——数学独立老师。 原上市机构学科带头人。 任教十五年，其中独立老师近十二年。 对5年级--高3课内课外数学学习有经验和见解。 不定期分享干货长文，公众号：数学尹老师。
本文推荐5-9年级同学和家长阅读。转载自本人公众号，有兴趣的话可进入本人千帆主页查阅具体公号名称。 所谓为高中数学可做的衔接准备（打好基础），并不是很多人理解的中考之后开始，而是整个初中阶段的规划与逐步渗透，六下开始就已经有成片的衔接模块。
上海22年最新高中自招人数6月底公布：2022年共有84所高中参与自主招生，招生计划合计4263人，2021年招生计划合计10014人，今年共减少5751人，缩水57%，其中四校招生计划586人，2021年招生计划933人，今年共减少347人，缩水37%。
作者常年带教初高中数学，且初中以中等及以上学生为主、高中以市重点学生为主，备课过程中搜集整理重点学校自招真题及一二线民办周测卷，并穿插在不同难度平时教学中，因此，熟悉各类自招题目在初中数学中的“根”，以及高中数学学习发展与运用的“连接点”。
本文涉及内容既包含自招，也包含初中阶段如何做才能更好衔接高中数学的一些思考。 所以，本文内容不仅仅是针对定位于最终通过自招考取四校八大的同学，也可以给更广大的不满足于公办课内数学难度的初中同学及家长参考。除了聊自招、升学，也会适当提及初中数学应有的拓展、初高数学的衔接等，后者内容更值得每一个以市重点高中为目标的同学关注。
本文可与20年的《初中4年数学学习规划》结合参考
文章主要从以下几个角度聊一聊： 1、相较中考，高中为何更信赖自己挑选的学生 2、各年级涉及自招与初高衔接的重要拓展考点 3、学习规划（可结合20年文章参考） 4、自招与初高衔接教辅推荐 5、真题分享（下一篇） 
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一、相较中考，高中为何更信赖自己挑选的学生
【自招的筛选机制和意义】 如果说中考考察的是细致、稳定，那么自招则像高考一样考察的是学生的上限。这也意味着，对实力超群的拔尖学生来说，自招有着远高于中考的容错率。数学中考中，150实力的考生失误考了140，亦或140实力的考生考了150都是常有的事；而自招数学中有90分实力的考生，哪怕状态较差考了70分，可能依然足够入围。反之，在这种做对每一个题都不容易的考卷下，只有30分实力的同学想超常发挥得到60分是极其困难的。以往四校八大自招，数学科目若能达到60%-65%得分率基本是足以达到对数学科目入围要求的，（22年起新政后还需要时间观察）。同时，60%左右得分率能入围也是学校对考生区分度的保障，这样的考卷，分差会极大，实力如何，一考见分晓。 所以，我所理解的自招存在意义是，简单的中考卷达不到高要求学校所需求的区分度。正因为这份区分度，从自招中脱颖而出进入拔尖高中的考生在高中阶段整体成绩会明显好于中考中脱颖而出的同学，这一现象在市重点非常普遍。 【九年同学如何大致判断是否应该以自招为九年级主要备考方向】 八九年级同学判断自身是否能达到意向学校自招要求，可参考本学校过往每年自招考取该校及以上重点高中的总人数。拔尖市重点自招对理科有优势的同学更友好，校内相差不大综合实力下，理科有优势的同学机会更大。另外，若查到的数据是21年及以前数据，按本文开头新政则还需缩水4-6成来判断；若目标为四校，需要分清学校往年公示中是否将四校分校与分校分开公式。当然，形势在不停变化，具体到每个学校也会有不同的影响，比如一线民办生源不像以前那么顶尖之后，资源不再会那么集中；而拔尖公办好生源的增加可能会抵消一部分名额缩减带来的负面影响。 【自招不是捷径】 6-8年级在力所能及的范围内数学学深一点无妨，但9年级需要更谨慎。 带教过程中常见一种现象，八年级下或九年级发现年级排名处于市重点（或目标学校）边缘水准，觉得无妨试试自招，等于多了一个机会，从而本该为中考发力刷题的阶段耗费了大量的补习、练习时间在自招体系上。这个想法，从我个人角度来说，可以理解，但建议谨慎，因为自招的选拔标准一定是比中考更加严格的。这就好比一个无法在全国大赛奖牌的运动员，想在奥运会站上领奖台。 选择，有时是一种内心概率的博弈。我并不是建议大家都做出同一种选择，我们不妨探讨一个简单的概率问题： 我们假定自招录取和裸考录取是相互独立。 A考生，九年级阶段如若重心在备考中考，中考录取概率为60%，自招录取概率为10%；如若重心在备考自招，中考录取概率降到40%，自招概率提升到30%，请问该考生最终录取概率是提高了还是降低了？答案是降低了，从64%下降为58%。 B考生，九年级阶段如若重心在备考中考，中考录取概率为80%，自招录取概率为60%；如若重心在备考自招，中考录取概率降到60%，自招概率提升到80%，请问该考生最终录取概率是提高了还是降低了？答案是不变，都是92%。 在这样的案例中，我们会建议A考生更谨慎，B考生更大胆。然而在实际情况往往是：A考生的自招的10%通过努力可能仅能提高到20%；B考生裸考的80%可能仅会下降到70%。 更重要的是，同一档次的重点高中自招时间往往是一致的，考生一般只有1-2次机会。当自招把握不大的时候，最终还需要中考来兜底，一旦中考分数下滑较大，最终的录取学校可能会与理想有明显差异，而当九年级重心在中考时，哪怕没有发挥出应有水平，一般也不会有很大偏差。 正因为自招有着更高的选拔标准，所以自招不是捷径。自招录取是一种当你拥有足够竞争力后选择权利的转换，此时可以理解为学校不想错过足够优秀的你。若你的能力只能达到学校的边缘水平，学校不必提前争取到你。强者拥有选择权，弱者等待命运的垂青，这也是这个世界诸多事物的一种运行规则。
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二、各年级涉及自招与初高衔接的重要拓展考点
【准备期以6-8年级为主】 为何我一直鼓励6-8年级拓展，而到了9年级建议谨慎？是因为目前中考难度下，九年级新课结束后的真题卷刷题对大考中基础题稳定性及突破压轴题都格外重要，甚至有的同学刷到中考前最后一个月才感觉压轴题把握性上有明显提高。而数学模考或中考真题一定要学完九年级新课才能做，6-8年级还未到新课结束阶段，大家还无需关注这一问题。建议6-8年级稍有能力的同学在力所能及范围内适当要求比课本和普通学校校内深一些，就算不以自招为目的也可以更好的适应高中数学，毕竟中考不是数学能力检测的终点。简单总结就是：6-8年级数学学习要更多考虑适应高中需要，九年级数学学习要更多考虑进入理想高中的需要。
【不必提前涉及高中知识】 很多家长有个误区，认为提早学习高中数学才能应对自招，我这里解释一下，其实自招考中基本不存在高中知识及相应拓展体系，偶尔涉及到的简单排列组合及等差、等比数列基本思想，也都是小奥入门必备的知识。我见过足够多的四校八大自招卷，也能清晰把每一个题目与初中数学相应章节的知识点（包含拓展知识点）建立联系（具体下一篇真题中会有分析）。这里再强调两点，第一，同一个体系的拓展知识和课本知识是两回事，或者说同样的教材，不同程度的学校之间所学有些差异，普通公办学校学生自身除了应对校内以外还要付出更多一些。第二，有工具和有解决问题的足够能力是两回事，不会做不一定是不知道相关知识点的缘故。
【拓展的方向】 初中的拓展方向，不能像小学课外一样脱离原本教材体系，而是要结合课本知识体系去延伸、去补充。什么叫结合初中教材的拓展，或者说一线民办学了哪些区别于普通公办的知识点。我举几个例子，六年级学绝对值，可以延伸到绝对值的几何意义，学方程（不等式）可以延伸到含参方程（不等式），进而延伸到关于某个字母的等式（不等式）恒成立（恒不成立）问题。七年级学完平方差完全平方，至少可以适当延伸到立方和立方差。我简单提到的几点都是自招考很可能涉及的考点。这样的考点、题型有很多很多，他们不出现在课本以及普通公办常规教学中，不出现在高中课本中，但是是能体现高中数学思维能力的内容，也是自招考的重点。
拓展有两个方向，拓展知识点和拓展题型。初中代数体系的拓展更侧重于拓展知识点从而迁移到题型，因此跟着一位这方面有经验的老师补充一些相应知识点是关键；而初中几何体系的拓展则更侧重于题型。因此适当练习、见到一些经典模型很重要。
为了让篇幅更合理，这里不打算把所有拓展考点一一列出，只列出自招中出现过对于理解高中数学学习有帮助的重要拓展点以及自招中出现可能性较高的知识点，给大家提供参考和思路。以下列出的拓展点都是明确而具体的，都能浮现与之相对应的具体问题（或真题）。然而，对于有追求的同学，需要学习的拓展点不止这些，而且除了考点拓展以外还会有更多题型的补充与拓展无法在此一一列出。 以下列出的拓展考点中，基本都是普通公办不涉及的，但约有接近9成曾在曾经市级一线民办周测卷中见到过类似考题。
【自招卷与市一线民办周测卷比较】 1、市一线民办各章节拓展的深度，及周测卷中难题难度是高于八大自招的。 2、然而市一线民办平时周测难度比顶尖八大自招卷明显要低。主要差距是周测中含有大量查漏补缺的相对基础题，而自招卷中可能只有1-2成。如若市一线民办周测去掉一半相对基础题，则整体难度可能并不低于八大自招。
注：市一线民办指曾经择生源时期，全市前五的民办。 
【各年级拓展知识点罗列】 对于理解高中数学学习有帮助的重要拓展点以及自招中出现可能性较高的知识点：
【六年级】 1、整数的整除性 2、绝对值的几何意义及最值 3、含2个及以上绝对值的绝对值方程（不等式） 4、含参绝对值方程解的个数 5、含参方程与含参不等式（组） 6、一元等式（不等式）的恒成立问题 7、简单分式不等式（组）的解法
【七年级】 1、a+b、a-b、ab、a与b的平方和，四者知二求二（这四个式子是构造大量公式的基本量） 2、补充的乘法公式（如立方、立方差、完全立方等）（要求更高同学可适当了解欧拉公式） 3、用赋值思想解含参恒成立等式 4、一元整式的降次思想及多元整式的消元思想 5、因式分解拓展技巧（如双十字、拆添项、因式（余式）定理、换元、待定系数等） 6、分式的裂项 7、含参分式方程增根 8、将军饮马模型 9、高斯函数 10、重根式的化简 11、根式中的配方 12、三角形的四心（要求更高同学可适当了解欧拉线）
【八年级】 1、同类根式中的根式方程整数解 2、根式、分式、因式分解、分母有理化的结合问题 3、分母有理化中的根式裂项问题 4、共轭根式及其在求值、解方程中的应用 5、基本不等式及相关最值 6、韦达定理及根的分布 7、用判别式法求二次方程参数取值范围（或求分式值域） 8、含参一元二次方程的整数根 9、三角形内角平分线定理 10、图形翻折、旋转中的勾股问题 11、特殊代数式的函数与几何意义（如将代数式构造为坐标系中点的距离） 12、用函数思想解不等式（方程）及求方程解的个数 13、带绝对值函数的作图 14、含参直线横过定点问题 15、代数方程拓展（不论根式方程、分式方程、高次方程大多是不同消元、降次思想的灵活运用） 16、中点坐标公式及其在坐标系中的平行四边形问题的应用
【九年级】 1、梅式定理与塞瓦定理 2、两角和差的正切余切 3、正弦、余弦定理及三角形面积公式拓展（包含三者推导过程） 4、一元二次不等式 5、解析法（函数）思想解几何问题 6、圆周角定理 7、四点共圆及其应用 8、相交弦定理与切割线定理（要求更高同学可适当了解阿波罗尼斯圆定理）
 【其他】 1、排列组合基础 2、容斥原理 3、等差、等比数列及倒序相加、错位相减等求和思想
以上前3点在自招真题与高中数学中都有体现。虽与初中体系无直接衔接，但小奥体系已包含，接触过一定小奥体系都会都会了解到的内容。
【重要补充】 前面提到过，拓展可大致分为知识点拓展及题型拓展，以及两种方式相结合。但相对而言初中代数的拓展相对侧重于知识点拓展，初中几何的拓展相对侧重于题型的拓展。这也是上面罗列的拓展考点中代数偏多几何偏少的原因。一般几何在自招题中的占比约为30%，自招中的几何重要性不及中考。上述现象的其中一个原因，我个人理解是代数（包括函数）的不少知识体系在高中依然能找到发展与运用的连接点，而初中的平面几何除三角比外基本是高考以前平面几何体系的终点，大多无法在高中找到与之对应的衔接。上述列出的不少平面几何拓展点还是曾出现在过老版教材中，又在历次减负中删减掉但实际在解决几何问题好用的知识点。
另外，大家千万不要将难题与需要用拓展知识点划等号。也会有大量的难题仅用到课本学到的基础知识点，只是运用上更加灵活，尤其是几何部分。 ​  03
三、学习规划（可结合20年文章参考）
【自招数学如何应对】 首先，有这方面想法的同学6-8年级的学习绝对不可仅仅满足于课本。如果学校拓展较多固然好，就看学生是否有足够好的能力和习惯。如果学校没有相应补充，则需要加强课外补充。只有低年级打好基础，初三才能灵活运用的去进行相应程度的练习。其实自招中大量6-8年级考点的内容都是相应章节的拓展题，不同学校不同难度自招卷所需要的拓展难度不同而已。9年级要做的主要是通过教辅把一些过去接触过的拓展问题适当增加熟练度，而不是从头开始学。 第二，6-8年级各章节打好拓展根基后，8升9的暑假可陆续开始做自招类教辅学过的小节或试卷。通常有补课习惯的同学在8升9的暑假基本可以学完初三上的全部新课。 第三、自招题不必要求像三大考一样、力争所有题都会做。很多学校数学自招卷拿到60分左右即可过线。平时练习时不必死磕难题，要抓大放小。 还是那句话，花在自招上的精力，应该是6-8年级为主，9年级为辅。
【为什么难学】 有人会觉得，既然知道哪些点考得多，是不是一个普通学生反复学这些题型知识点、一样可以进入远超自身能力的重点高中？答案是否定的。不同难度的知识点和题型区分学生程度的方式并不仅仅是否听得懂，听完之后是否能立刻举一反一，这个难度下更大的区别在于思维能力和学习主动性是否能匹配这个高度，是否听完练完之后会过一段时间再次遇到还能有相应思路。当然，如何由浅入深的把这些知识讲明白练清楚，从而让更多学生隔很长时间依然能做出也是很考验老师教学水准的。
难度越大，天分可能越重要。越拔尖，差距可能越明显。如果孩子真有奥数入围同届全市前100的能力，这种孩子的天分应该是晚起步也很难被掩盖的。 
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四、上海自招教辅重点推荐 下段有部分内容引用自本人20年公众号文
【关于自招教辅】 四校和顶尖八大由于挑选标准非常高，因此数学的确需要更多深入拓展，但排在上述学校之后的市重点数学卷并不算难，有大量的常规教辅同类题（如新思路、市内等）及一二线民办课内同类题。
每个学校自主命题，明确限制较少，自招命题难度差异非常之大。没有一本教辅能同时应对不同级别学校的自招。上中、华二这一类的难度和题型在一线民办和准竞赛之间，拔尖八大的则接近一线民办周测卷（只是基础题比例比平时周测低很多，但题型基本都见过），弱一些的市重点可能只是接近二线民办周测拔高难度，甚至不如二线民办拔高难度。很多自招题也常见于各年级一些拓展为导向但还达不到竞赛难度的教辅中。
自招并不是一个有明确的难度定位的概念。但市面上专门针对自招的教辅，机构针对自招的高端班讲的题型，可能大多侧重于四校自招的难度。但除了四校、四校分校及拔尖的一两所八大学校以外，只要6-8年级注重拓展，并不需要到了初三紧张时期学习非常深的所谓自招或奥数课程。
最好的资料是相应学校的真题，或者同级别学校的真题，但这一块对普通家长而言很难收集。上海地区可能是由于版权问题，市面上没有统一的自招真题汇编。有些这方面有经验的老师可能会收集一些往年真题，身边有这类老师的家长可以咨询。不过市面上也有很好的自招类教辅，具体见下文分析。
《上海高中自主招生专题讲座》+《上海高中自主招生全真模拟卷》 
新版和旧版
【本书概述】 1、高中自招对学生的筛选标准也不同，不同市重点之间数学难度差异很大。本系列大致定位于四校自招难度，主要针对四校自招中的中高难度题型。其中《专题讲座》整体与四校自招难度更接近，《全真模拟卷》难度略高于四校自招。 2、《专题讲座》从少量知识点到例题再到练习的结构更系统，还有少量真题练习，有的专题甚至初二便可完成。 3、《全真模拟卷》整体比四校自招略难，其中解答题整体难度高于填空选择。第15套模拟卷比前14套明显简单，第15套可定位于普通市重点。
【总结】 对目标是以自招方式进四校（包括四校尖子班）为目标的同学来说，本书可能是市面上难度最适当的教辅。 适用学生主要是一线民办尖子生，或者有精通自招和奥数的老师进行课内外长期辅导的尖子生。
【编写组】 本书编写组的三位老师中，有两位曾是浦东交中初级的数学组核心骨干。在该校任职期间学校的奥数多为两位老师带教。另外，本书编写组老师们还创作有“牛鼻闪闪的初中数学”、“英才冠三军”、“笃悠悠de初中学习”等公众号。
【改版】 本丛书今年改版出了第二版，但主要是版面设计上的变化。另外《专题讲座》新增了1讲尺规作图，《模拟卷》新增3套模拟卷。有需要的话建议未购买的同学购买第二版，已经购买第一版的同学可不必重复购买。
【建议使用时间】 《专题讲座》建议在七年级升八年级的暑假开始根据已学章节陆续使用。
《全真模拟卷》建议升入九年级后开始使用。
《高中自主招生与初高中衔接学习》
【出版时间】 本书于20年9月出版，因此20年6月我写初中教辅推荐文章时未提到本书。
【本书概述】 本书采用了教材与练习相结合的编写方式，选题以四校、八大、市重点过往自招真题为主，并结合了竞赛中的基础性问题。每个章节都包含“知识梳理”“例题及分析”“变式练习”“自我检测”等模块，逐步递进。 本书一共18讲（含3讲）专题中，九年级专题仅有3讲，这也是符合自招规律的。拓展专题的角度较为实用，覆盖也较为全面，深度与市一线民办平时拓展部分相当。整体难度略低于上面的《专题讲座+全真模拟》，但整体难度也高于八大整体自招要求。
【编写原则】 本书编写的原则为：每一讲内容都能在初中数学学习的内容中找到“根”，在高中数学学习的内容中可找到发展与运用的“连接点”，以此凸显初高中数学学习的衔接。
【编写组】 本人也是编写组成员之一，参与了部分章节的选题，更多的还是从中学习。因此对本书及编写组都较为熟悉。其余老师都是我的前辈，其中包含：市重点高中副校长、数学特级教师、正高级教师、奥数教练、区教研员、市一线民办数学骨干等。编写组中高中教师、初中教师及初高中教师都有，因此在初高中衔接与自招招生上都能贡献各自的经验。
【建议使用时间】 本书建议在七年级起根据已学章节陆续使用。
【其他】 以上关于本书的大部分介绍都引用自本书的“前言”，由于参与过，感觉足够了解但不好多说，引用前言“官方”宣传更为妥当。
本文到此结束，有兴趣的各位敬请关注即将发布的同系列下一篇：
自招系列下--近年热门重点高中自招真题分析（解答分析为原创）
【最后】 世界很大，考场很小，人生很长，没有人因一场考试赢得所有，也没有人因一场考试输掉一生。孩子的成长，需要家长的耐心、智慧和时间去浇灌。 最后，期待下一次整理新的内容同各位分享，再次祝小朋友们成长顺利，大家生活幸福。 下次见。
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发表于 2022-7-17 10:45
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