看IMO第一题送分题感觉蛮简单的。。初中数学还没放下的家长大胆点进来
本帖最后由 hearts 于 2019-7-22 15:58 编辑题目：
已知 f是值域和定义域都是整数的函数，并且 f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))，求f。
以下是评委会给出的解 (其实解法和浙江省高考22题类似，首先需要通过观察特例求出解的一部分特性）：
对任何整数n，
令a=0,b=n+1，可得 f(0)+2f(n+1)=f(f(n+1))
令a=1,b=n，可得 f(2)+2f(n)=f(f(n+1))
所以 f(n+1)-f(n)=(f(2)-f(0))/ 2 是常数
所以 f(n)应该是一个等差数列（线性函数）
令f(n)=M*n+K，求出M，K即可
f(2a)=2*M*a+K
f(b)=M*b+K
f(f(a+b))=M*(M*(a+b)+K)+K
通过f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))，可得 (M-2)(M*(a+b)+K)=0
可知或者M=2,或者 M*(a+b)+K 对任意a,b恒等于0
由M=2可知，f(n)=2n+K (K为任意整数）
由M*(a+b)+K 对任意a,b恒等于0可知，M=K=0, 即f(n)=0
所以答案为：或者f(n)=0, 或者f(n)=2n+K (K为任意整数）
已经看不懂了。。。 答案看懂了
试(0，n+1)和(1，n)这两对特殊自变量不太容易想到啊
已经完全看不懂了 看得懂 想不到 时光倒回十几年 问题不大 好像很厉害的样子 令a=0,b=n+1
令a=1,b=n，
这两步怎么想到的，设别的数能做出来吗？ 厉害了。我觉得第三题也挺容易的，只是把证明写完备不容易。我在某个回帖里写了，每次事件的作用就是把一笔画问题往前推一步。那么可以证明2N-1个点最后一笔画会剩下N条路径没法走到，即每个人最多一个朋友，有一个人没朋友。 确实不太难 一直挺怕这种函数方程题。 谢谢楼主分享！ 对于竞赛来说，给变量赋予一个特殊的值是常用的一个套路，所以对参赛的人来说，的确算是送分题。
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