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本帖最后由 hearts 于 2019-7-22 15:58 编辑
题目：
已知 f是值域和定义域都是整数的函数，并且 f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))，求f。
以下是评委会给出的解 (其实解法和浙江省高考22题类似，首先需要通过观察特例求出解的一部分特性）：
对任何整数n，
令a=0,b=n+1，可得 f(0)+2f(n+1)=f(f(n+1))
令a=1,b=n，可得 f(2)+2f(n)=f(f(n+1))
所以 f(n+1)-f(n)=(f(2)-f(0)) / 2 是常数
所以 f(n)应该是一个等差数列（线性函数）
令f(n)=M*n+K，求出M，K即可
f(2a)=2*M*a+K
f(b)=M*b+K
f(f(a+b))=M*(M*(a+b)+K)+K
通过f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))，可得 (M-2)(M*(a+b)+K)=0
可知或者M=2,或者 M*(a+b)+K 对任意a,b恒等于0
由M=2可知，f(n)=2n+K (K为任意整数）
由M*(a+b)+K 对任意a,b恒等于0可知，M=K=0, 即f(n)=0
所以答案为：或者f(n)=0, 或者f(n)=2n+K (K为任意整数）
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发表于 2019-7-22 15:53
