数论概论等粗略比较与初步记录
本帖最后由 lllb 于 2021-8-16 16:36 编辑19年暑假：学前最后一个暑假（顺便古诗总结）
20年寒假：寒假阅读纪念
20年学期：时疫中娃的鸡汤与吐槽等琐事
20年暑假：暑假零碎总结
21年寒假：二年级寒假琐碎之语数篇 二年级寒假琐碎总结之英文篇21年暑假：科学探索者-动物篇笔记汇总 二下的作文杂记摘抄~碎碎的 数论概论等粗略比较与初步记录 （本篇） 线代学习笔记 初心版的三个
19年暑假：给娃的数学开化做个记录一
20年寒假：数学开化的零碎记录之二
20年暑假：数学开化的零碎记录之三（兼为难胖虎系列）
数论不是必要的，如果不是喜欢+闲，没必要特地学。娃后半段对线代感兴趣了，进程中。印象特深的一段：然而，迄今为止，数学中还有一大体系除了可以训练思维外没有任何实际应用，简直可以被光荣地授予“纯粹皇冠”了。这就是所谓的“数论”（这里指整数），数学中最古老的分支之一，也是纯数学思维最错综复杂的产物之一。笑死，其实还是有用+好玩的，跟娃一起胡说八道很开心。新内容我都带前几章，后面娃自习和做题。我以前没选修过数论，不了解的部分只在单位赶进度看看，回家再讨论，所以只总结小部分，暑假慢慢更新下。手上数论好材料不多，欢迎推荐。
《数论概论》比小蓝本更适合入门+讨论，小蓝本当题库不错。（讨论基础：具备初中基础知识和运算力；如果有高中的部分概念，更容易拓展。娃的基础：学过市北教材，做过尖子生夺冠整除部分，喜欢看数论相关的。上学期看过 科普名家名作院士讲数学那系列、数学美拾趣那个系列、素数的阴谋、费马大定理等介绍书籍，娃偶尔会说到跟分形也有关的蝴蝶效应。）1.前三分之一难度不大，有很详细的引导。2.课后题引导了很多后续概念的证明推导，引导兴趣很有效，可以说进度是不固定的、是可以控制在拓展里的。3.书里每节都涉及到编程，娃还没学哎……某些手动计算了。4.上学期看几何原本时，数论这章没开好头，经过这次长见识，倒是理解了几何原本里的数论章（类似辗转相除法的理解）。作者很幽默。
娃一会儿写书上，一会儿写纸上，我粗略收集下。中间为了解决计算、证明，娃开了不少脑洞，吐了一些槽，还想办法学会了计算器的用法，让过程顺溜很多（毕竟我只给了很基础的计算器）。
一、数的基础讨论前期介绍很通俗，从一些基本数的介绍出发，趣味性很足。https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719150551662.jpg娃看到这里说她记得费马大定理，记录下https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719141803175.jpg思考题有小部分不需要证明出来，是根据正文猜想。推导各类数之间的关联很有趣。比如计算同为三角数与平方数的数。https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719141803222.jpg
娃乱七八糟小联想、小笔记挺多，说有些是以前数学科普书里看的，比如《素数的阴谋》等https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719144019718.jpg比如拆解奇素数为平方和，娃还想出了个题，将奇素数因分成复数形式，发现能拆的都是模4余1的数（又可以结合平方数性质来解释），查了下都是高斯素数。（与后几章勾股数组的构造有关联了。）https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719150654509.jpg二、勾股数组是初始几章里很有意思的部分，构造数组的方式很多样。（最好有函数计算基础，对复平面、向量等有认识，拓展很有趣。）1、通过分析奇偶，分析平方数性质，推导公式。关于一组本原勾股数组（即互素的），里面必有2/3/5的倍数，正文里给出了2的证明方式。娃说很喜欢这步证明，跟醇香奶一样美妙，还补充写了在前一步就能完成证明（其他都是4的倍数，有一项却模4余2）。https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719141803601.jpg课后题里，让证明3和5的倍数的情况：娃用平方数的性质，模3余1或0，来证明3的倍数；用平方的尾数（只有0.1.4.5.6.9等情况）组合，来证明5的倍数情况。https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719141804190.jpg（后半题是用一种方法构造一组勾股数组。）对比下：小蓝本（整除）提及的2、3、5的倍数性质，是作为单独练习题，糅合在同一题里证明完的。https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719145736644.jpg
也是构造题（不知为啥还画了个乱乱小设计）https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719141804561.jpg2、书里还用了函数＋固定坐标的方式推导勾股数组，但娃也用复平面和向量做了一样的构造结果。https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719151504080.jpg
复平面法：第二题就是用的向量运算得出的勾股数组。（有次在店里玩，娃还拿小票背面出题为难爸爸，还自己写了答案纸，不过没画复平面。那天娃倒是给爷爷科普了一回虚数的几何意义，原来爷爷当年大学医学还没学过虚数、复平面。）https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719141804879.jpg
三、辗转相除法原本只用它求最大公因数GCD。这书给出了其与线性方程的证明和关联应用，原理讲得非常清楚，后面大量应用到。从这里开始完全是娃自习了，我在单位放了本中文版的，尽量同步看，有时没看就等回家听娃讲一讲。先是求公因数 gcd
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719144932474.jpg简单的就做书上了
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719144933114.jpg
然后是用于线性方程。（二元一次不定方程，求出一组解后列通解）https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719144932578.jpg
有时候字有够乱的……部分摘到草稿纸里做。
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719144933188.jpg
爷爷友情提供了好多草稿纸
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719144933046.jpg
比较了一下奥精、小蓝本的不定方程求整数解，第一组解多半是用尝试法（枚举法），再出通解，普遍性上差一点点，遇到较大数可能会很难凑。https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719150114342.jpg正文学了解二元方程，课后题出了三元的，一开始，我让娃想个通解模式，她还尝试摸了套公式（一拍脑袋就写了，挺好玩，逻辑自洽了，也判断了有公因数的关联，做能做，但凑数还是一样麻烦）后来福至心灵想起来可以拆成两组分别用辗转法出通解。（小傻子还很高兴，说发现一次不定方程的全解法啦哈哈，给她看了网上有人写的论文23333，人家早就知道了）https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719150114949.jpg之后多元一次不定方程就普遍能解了，包括判定有无整数解。https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719150115338.jpg
从小蓝本摘了点题做。
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719150115668.jpg
（部分内容跟小学初中很像，就当复习了）https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719151504300.jpg
四、同余、费马小定理、欧拉φ相关娃原来在尖子生系列的整除中学到过同余，倒是一直用得很溜，估计小孩都喜欢这类精简、偷懒的法子。https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719151504538.jpghttps://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719151504997.jpg
同余式解决还是会用到辗转法哦
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719151505210.jpg
还写错词……（本来是列一下费马小定理的证明）https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719151505855.jpg
后来看到欧拉φ定理的证明，说方式与费马小定理一致，还吐槽来着。
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719152258719.jpg
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719151505423.jpg
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719151505643.jpg
求φ值时，说书里用的是代入的归纳法，自己写了个因分的推导模式，不过最后还是归纳法。
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719152256882.jpg
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719152257242.jpg
这里φ值翻来覆去地求解/倒推/z证明很好玩。
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719152257470.jpg
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719152257806.jpg
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719152258149.jpg
有些题目里要求推五种，娃倒很耐心地推很多、推十来个。
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719152258467.jpg
这题本来是求1-9每个数字的1000次的末四位数，就相当于求 mod 10000。娃开始还试探了下能不能用欧拉φ，结果还是用了逐次平方法，需要几次就拆为二进制数的组合。从这题开始熟练使用计算器揿平方找尾数了2333，发现规律非常有趣。（只要算出素数的那些，合数可以由素数的对应次幂得出。）
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719152258501.jpg
期间我在网上摘了点题，另外考娃。
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719152616111.jpg
不得不说，用到同余规则的地方都反应比较快。
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719152617182.jpg
结果娃还说自己总结了点规律（乱来的）
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719152618012.jpg
五、素数介绍章，不过主要在后面章节开展
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719152616434.jpg
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719152616675.jpg
完美数部分，题目做着做着还会画漫画小人23333不注意还真没发现
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719152617442.jpg
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719152617738.jpg
六、密码学相关
好像从十几章开始都跟密码学有关，这就到她感兴趣的部分了。https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719152618243.jpg
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719152755502.jpg
这题解码解得蛮逗的，过程中有一步是用辗转法解次数关联的线性方程，娃把正负号搞反了，悲剧啊，本来只要两位数次方的，变成要算六千多次。更没想到的是居然很有毅力地一路算到了，然后解出的码毫无意义。（算二进制数次幂模时，她都检查确认了，怎么就没在辗转法里检查符号呢，小孩好嫩2333）https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719153100179.jpg尽管这样，我还是很感动的，这多繁琐啊，还能坚持下来。我跟娃爸都试着揿了揿计算器，马上泪奔了（毕竟只给了娃一只基础计算器）。当然二进制数的次方也不是白算的，能用上一部分。接下来一张就正本清源，算对了。解码为Fermat。好像是这次被我俩大夸特夸，觉得很有趣，后面几天还编了好几句密码考大人（编码解码的步骤一样繁琐）orzhttps://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719153100601.jpg特别夸一下娃想出的流畅的计算器揿法（①揿 “某数”“x”“ =” 可算该数平方；按"-""某数"，再持续按"="，会连减该数），比如揿出2604的平方，为七位数，娃就先连减7081的百倍，再连减其十倍，再连减7081，直到剩余数；接着余数平方，再如上做连减。这样可以连贯揿，而不用每步都记录来记录去求整数倍。娃不会编程，也有其他的收获，起码是动脑解决麻烦了。数码表对应如图https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/469463/210719153100823.jpg我断断续续跟进度的，后面的还没拍，待补充整理。PS：陆续看到有个别题目里的小分题是奥数里出现过的。
线代另开一帖了，估摸着假期能看完一轮。之后再继续看数论。
太牛了吧！ 直接送到麻省理工吧！ 对楼主的娃的天赋已经习惯了！只是突然多了个疑问，楼主小孩还做学校作业吗吗？怎么能挤出那么多时间学这么多东西？ 值得期待。 本帖最后由 lllb 于 2021-7-20 08:52 编辑
深海领域 发表于 2021-7-19 21:40
对楼主的娃的天赋已经习惯了！只是突然多了个疑问，楼主小孩还做学校作业吗吗？怎么能挤出那么多时间学这么 ...
学校的当然就正常做啊，反正公办作业少的，晚饭前就好了，娃是花了更多时间看书+玩。
这儿还有个误区，关于花了多少时间，其实感兴趣、有认识基础的东西并不需要多久。《数论概论》是近学期末开始看的，入门的讨论很轻松，娃也在书上标记了不少联想，反而没有题海的疑惑，所以才看下去了。线代也是翻到MIT教程说很有趣才看的。初始目标是扩扩见闻，实际操作下来的确对初等数学的很多意义、操作更清晰了。 医学生高知家庭，膜拜 farwhite 发表于 2021-7-19 22:02
医学生高知家庭，膜拜
我不是医生，娃爸看不了娃的部分数学23333 这是几年级的小朋友？真牛 ryan_lucky 发表于 2021-7-19 22:04
这是几年级的小朋友？真牛
二年级，算新三 ryan_lucky 发表于 2021-07-19 22:04
这是几年级的小朋友？真牛
应该是小2升 小3的巨牛 一直当榜样教育娃 还没过完暑假就有记录看，激动。 真不是一般人哪 chickenblood 发表于 2021-7-19 22:23
还没过完暑假就有记录看，激动。
汗，现在管娃太少了，怕忽略太多，先收集下。 这个就是乐在其中的境界了。巨牛！！！ 请问楼主，孩子从小怎么学数学的？有什么启蒙书推荐吗？ 我的嘴到现在还没合上。。。 丷丷丷丷丷丷 二升三。。。。。 哇哇哇哇哇 线性代数的教材作者能否说下全名？ 可以看英文教材了？厉害，英文的书籍确实写的好一些 Hellolujah 发表于 2021-7-19 23:33
线性代数的教材作者能否说下全名？
家里正好有David C.Lay的，其他人的也可以。 山海 发表于 2021-7-19 22:49
请问楼主，孩子从小怎么学数学的？有什么启蒙书推荐吗？
那太长了……初心版历年有帖记录 拉德姆 发表于 2021-7-19 23:43
可以看英文教材了？厉害，英文的书籍确实写的好一些
我有让娃挑选，她选了看英文版，也那好，顺其自然一点。 自从了解到有人三年级已经学大学数学了，跨级集训队在他们面前都是普娃，我才觉得我们还是慢慢来吧！ kaka2000 发表于 2021-07-19 23:51
自从了解到有人三年级已经学大学数学了，跨级集训队在他们面前都是普娃，我才觉得我们还是慢慢来吧！
这就不好说了，很多人都学过大学数学，集训队的题他们不一定会做。看具体情况吧。 lllb 发表于 2021-07-19 23:55
这就不好说了，很多人都学过大学数学，集训队的题他们不一定会做。看具体情况吧。
不过我也不了解集训队有啥题_(:3 ⌒)_ lllb 发表于 2021-07-19 23:46
那太长了……初心版历年有帖记录
看不了https://app.qianfanedu.cn/public/emotion/face_006.png，刚刚翻了楼主的帖子，好多有趣的书。可惜最想看初心的数学那篇看不了。楼主能发新帖子吗？感谢 山海 发表于 2021-07-20 00:05
看不了，刚刚翻了楼主的帖子，好多有趣的书。可惜最想看初心的数学那篇看不了。楼主能发新帖子吗？感谢
要不你去小花生，还是这ID。不过娃的进度乱跳的，有些阶段我没教过，连贯性不好看。 lllb 发表于 2021-07-20 00:10
要不你去小花生，还是这ID。不过娃的进度乱跳的，有些阶段我没教过，连贯性不好看。
谢谢楼主谢谢楼主！ 除了惊叹还是惊叹 你让我们普娃的家长情何以堪！ 为什么不录取上实啊？ lllb 发表于 2021-07-19 23:46
家里正好有David C.Lay的，其他人的也可以。
哦哦那我知道了。请问英语阅读这部分能力是如何培养的呢？ 留个爪印过段时间再来膜拜:lol Hellolujah 发表于 2021-07-20 07:51
哦哦那我知道了。请问英语阅读这部分能力是如何培养的呢？
以前的有老贴说，中间一直是听力、阅读和娃部分笔记保温，时多时少。需要的原版书籍一直是直接看的，应该是以前听看适应了 lllb 发表于 2021-07-20 08:03
以前的有老贴说，中间一直是听力、阅读和娃部分笔记保温，时多时少。需要的原版书籍一直是直接看的，应该是以前听看适应了
支持宝妈多晒晒笔记！ 本帖最后由 kaka2000 于 2021-7-20 08:45 编辑
lllb 发表于 2021-7-19 23:55
这就不好说了，很多人都学过大学数学，集训队的题他们不一定会做。看具体情况吧。
当然是在JXD内的人，其实很多JXD的人看不上JXD！ 太厉害了！！！！父母厉害，孩子也厉害！ 太恐怖了，膜拜 这不属于牛娃的范畴了，属于超常儿童。:) 谢谢楼主，小花生已经关注你啦，受益良多。想问问你宝宝的英语，现在是科学探索者为主吗？画了很多画的，是根据这本书吗？看到帖子里有2张英语书的图片，看起来不错，科学类的，还有生词单独列出来。请问是科学探索者吗？ 山海 发表于 2021-07-20 17:23
谢谢楼主，小花生已经关注你啦，受益良多。想问问你宝宝的英语，现在是科学探索者为主吗？画了很多画的，是根据这本书吗？看到帖子里有2张英语书的图片，看起来不错，科学类的，还有生词单独列出来。请问是科学探索者吗？
是探索者。笔记方面是探索者为主，内容倒不一定，有感兴趣的书会看的，数学之类也是英文教材，随娃选 公办学校读着不浪费时间吗？都可以教老师了 啊 lllb 发表于 2021-07-20 17:30
是探索者。笔记方面是探索者为主，内容倒不一定，有感兴趣的书会看的，数学之类也是英文教材，随娃选
感谢楼主，楼主和娃都是超牛啊。数论我看不懂，辅导不了孩子。有简单些引导的书推荐吗？ 山海 发表于 2021-07-21 08:38
感谢楼主，楼主和娃都是超牛啊。数论我看不懂，辅导不了孩子。有简单些引导的书推荐吗？
我对其他宝宝没经验哦。不知道你宝宝多大，小的话先看看有兴趣不，比如 可怕的数学 系列。大的话你看学六年级那些数论怎么样，市北之类的，课内的反应还可以的话再拓展。 小怪兽112 发表于 2021-07-21 00:03
公办学校读着不浪费时间吗？都可以教老师了 啊
想得挺美2333
课外可以不着四六，爱看啥看啥，课内还不是要老老实实跟好。 华二 上中的竞赛老师赶紧联系楼主。
这样的苗子上海一年没几个
目标要定为IMO金牌
女生拿IMO金牌太少见了
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