本帖最后由 lllb 于 2021-8-16 16:36 编辑
数论不是必要的,如果不是喜欢+闲,没必要特地学。娃后半段对线代感兴趣了,进程中。 印象特深的一段:然而,迄今为止,数学中还有一大体系除了可以训练思维外没有任何实际应用,简直可以被光荣地授予“纯粹皇冠”了。这就是所谓的“数论”(这里指整数),数学中最古老的分支之一,也是纯数学思维最错综复杂的产物之一。 笑死,其实还是有用+好玩的,跟娃一起胡说八道很开心。 新内容我都带前几章,后面娃自习和做题。我以前没选修过数论,不了解的部分只在单位赶进度看看,回家再讨论,所以只总结小部分,暑假慢慢更新下。手上数论好材料不多,欢迎推荐。
《数论概论》比小蓝本更适合入门+讨论,小蓝本当题库不错。(讨论基础:具备初中基础知识和运算力;如果有高中的部分概念,更容易拓展。娃的基础:学过市北教材,做过尖子生夺冠整除部分,喜欢看数论相关的。上学期看过 科普名家名作院士讲数学那系列、数学美拾趣那个系列、素数的阴谋、费马大定理等介绍书籍,娃偶尔会说到跟分形也有关的蝴蝶效应。) 1.前三分之一难度不大,有很详细的引导。 2.课后题引导了很多后续概念的证明推导,引导兴趣很有效,可以说进度是不固定的、是可以控制在拓展里的。 3.书里每节都涉及到编程,娃还没学哎……某些手动计算了。 4.上学期看几何原本时,数论这章没开好头,经过这次长见识,倒是理解了几何原本里的数论章(类似辗转相除法的理解)。 作者很幽默。
娃一会儿写书上,一会儿写纸上,我粗略收集下。中间为了解决计算、证明,娃开了不少脑洞,吐了一些槽,还想办法学会了计算器的用法,让过程顺溜很多(毕竟我只给了很基础的计算器)。
一、数的基础讨论 前期介绍很通俗,从一些基本数的介绍出发,趣味性很足。 娃看到这里说她记得费马大定理,记录下 思考题有小部分不需要证明出来,是根据正文猜想。推导各类数之间的关联很有趣。比如计算同为三角数与平方数的数。
娃乱七八糟小联想、小笔记挺多,说有些是以前数学科普书里看的,比如《素数的阴谋》等 比如拆解奇素数为平方和,娃还想出了个题,将奇素数因分成复数形式,发现能拆的都是模4余1的数(又可以结合平方数性质来解释),查了下都是高斯素数。(与后几章勾股数组的构造有关联了。) 二、勾股数组 是初始几章里很有意思的部分,构造数组的方式很多样。(最好有函数计算基础,对复平面、向量等有认识,拓展很有趣。) 1、通过分析奇偶,分析平方数性质,推导公式。 关于一组本原勾股数组(即互素的),里面必有2/3/5的倍数,正文里给出了2的证明方式。娃说很喜欢这步证明,跟醇香奶一样美妙,还补充写了在前一步就能完成证明(其他都是4的倍数,有一项却模4余2)。 课后题里,让证明3和5的倍数的情况:娃用平方数的性质,模3余1或0,来证明3的倍数;用平方的尾数(只有0.1.4.5.6.9等情况)组合,来证明5的倍数情况。 (后半题是用一种方法构造一组勾股数组。) 对比下:小蓝本(整除)提及的2、3、5的倍数性质,是作为单独练习题,糅合在同一题里证明完的。
也是构造题(不知为啥还画了个乱乱小设计) 2、书里还用了函数+固定坐标的方式推导勾股数组,但娃也用复平面和向量做了一样的构造结果。
复平面法:第二题就是用的向量运算得出的勾股数组。(有次在店里玩,娃还拿小票背面出题为难爸爸,还自己写了答案纸,不过没画复平面。那天娃倒是给爷爷科普了一回虚数的几何意义,原来爷爷当年大学医学还没学过虚数、复平面。)
三、辗转相除法 原本只用它求最大公因数GCD。这书给出了其与线性方程的证明和关联应用,原理讲得非常清楚,后面大量应用到。从这里开始完全是娃自习了,我在单位放了本中文版的,尽量同步看,有时没看就等回家听娃讲一讲。 先是求公因数 gcd
简单的就做书上了
然后是用于线性方程。(二元一次不定方程,求出一组解后列通解)
有时候字有够乱的……部分摘到草稿纸里做。
爷爷友情提供了好多草稿纸
比较了一下奥精、小蓝本的不定方程求整数解,第一组解多半是用尝试法(枚举法),再出通解,普遍性上差一点点,遇到较大数可能会很难凑。 正文学了解二元方程,课后题出了三元的,一开始,我让娃想个通解模式,她还尝试摸了套公式(一拍脑袋就写了,挺好玩,逻辑自洽了,也判断了有公因数的关联,做能做,但凑数还是一样麻烦) 后来福至心灵想起来可以拆成两组分别用辗转法出通解。(小傻子还很高兴,说发现一次不定方程的全解法啦哈哈,给她看了网上有人写的论文23333,人家早就知道了) 之后多元一次不定方程就普遍能解了,包括判定有无整数解。
从小蓝本摘了点题做。
(部分内容跟小学初中很像,就当复习了)
四、同余、费马小定理、欧拉φ相关 娃原来在尖子生系列的整除中学到过同余,倒是一直用得很溜,估计小孩都喜欢这类精简、偷懒的法子。
同余式解决还是会用到辗转法哦
还写错词……(本来是列一下费马小定理的证明)
后来看到欧拉φ定理的证明,说方式与费马小定理一致,还吐槽来着。
求φ值时,说书里用的是代入的归纳法,自己写了个因分的推导模式,不过最后还是归纳法。
这里φ值翻来覆去地求解/倒推/z证明很好玩。
有些题目里要求推五种,娃倒很耐心地推很多、推十来个。
这题本来是求1-9每个数字的1000次的末四位数,就相当于求 mod 10000。娃开始还试探了下能不能用欧拉φ,结果还是用了逐次平方法,需要几次就拆为二进制数的组合。从这题开始熟练使用计算器揿平方找尾数了2333,发现规律非常有趣。(只要算出素数的那些,合数可以由素数的对应次幂得出。)
期间我在网上摘了点题,另外考娃。
不得不说,用到同余规则的地方都反应比较快。
结果娃还说自己总结了点规律(乱来的)
五、素数介绍章,不过主要在后面章节开展
完美数部分,题目做着做着还会画漫画小人23333不注意还真没发现
六、密码学相关
好像从十几章开始都跟密码学有关,这就到她感兴趣的部分了。
这题解码解得蛮逗的,过程中有一步是用辗转法解次数关联的线性方程,娃把正负号搞反了,悲剧啊,本来只要两位数次方的,变成要算六千多次。更没想到的是居然很有毅力地一路算到了,然后解出的码毫无意义。(算二进制数次幂模时,她都检查确认了,怎么就没在辗转法里检查符号呢,小孩好嫩2333) 尽管这样,我还是很感动的,这多繁琐啊,还能坚持下来。我跟娃爸都试着揿了揿计算器,马上泪奔了(毕竟只给了娃一只基础计算器)。当然二进制数的次方也不是白算的,能用上一部分。接下来一张就正本清源,算对了。解码为Fermat。好像是这次被我俩大夸特夸,觉得很有趣,后面几天还编了好几句密码考大人(编码解码的步骤一样繁琐)orz 特别夸一下娃想出的流畅的计算器揿法(①揿 “某数”“x”“ =” 可算该数平方;按"-""某数",再持续按"=",会连减该数),比如揿出2604的平方,为七位数,娃就先连减7081的百倍,再连减其十倍,再连减7081,直到剩余数;接着余数平方,再如上做连减。这样可以连贯揿,而不用每步都记录来记录去求整数倍。娃不会编程,也有其他的收获,起码是动脑解决麻烦了。 数码表对应如图 我断断续续跟进度的,后面的还没拍,待补充整理。 PS:陆续看到有个别题目里的小分题是奥数里出现过的。
线代另开一帖了,估摸着假期能看完一轮。之后再继续看数论。
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