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[小学数学] 数论概论等粗略比较与初步记录

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发表于 2021-7-19 19:55 | 显示全部楼层 |阅读模式 来自: 中国上海
本帖最后由 lllb 于 2021-8-16 16:36 编辑

                数论概论等粗略比较与初步记录 (本篇) 线代学习笔记

数论不是必要的,如果不是喜欢+闲,没必要特地学。娃后半段对线代感兴趣了,进程中。
印象特深的一段:然而,迄今为止,数学中还有一大体系除了可以训练思维外没有任何实际应用,简直可以被光荣地授予“纯粹皇冠”了。这就是所谓的“数论”(这里指整数),数学中最古老的分支之一,也是纯数学思维最错综复杂的产物之一。
笑死,其实还是有用+好玩的,跟娃一起胡说八道很开心。
新内容我都带前几章,后面娃自习和做题。我以前没选修过数论,不了解的部分只在单位赶进度看看,回家再讨论,所以只总结小部分,暑假慢慢更新下。手上数论好材料不多,欢迎推荐。

《数论概论》比小蓝本更适合入门+讨论,小蓝本当题库不错。(讨论基础:具备初中基础知识和运算力;如果有高中的部分概念,更容易拓展。娃的基础:学过市北教材,做过尖子生夺冠整除部分,喜欢看数论相关的。上学期看过 科普名家名作院士讲数学那系列、数学美拾趣那个系列、素数的阴谋、费马大定理等介绍书籍,娃偶尔会说到跟分形也有关的蝴蝶效应。)
1.前三分之一难度不大,有很详细的引导。
2.课后题引导了很多后续概念的证明推导,引导兴趣很有效,可以说进度是不固定的、是可以控制在拓展里的。
3.书里每节都涉及到编程,娃还没学哎……某些手动计算了。
4.上学期看几何原本时,数论这章没开好头,经过这次长见识,倒是理解了几何原本里的数论章(类似辗转相除法的理解)。
作者很幽默。

娃一会儿写书上,一会儿写纸上,我粗略收集下。中间为了解决计算、证明,开了不少脑洞,吐了一些槽,还想办法学会了计算器的用法,让过程顺溜很多(毕竟我只给了很基础的计算器)。

一、数的基础讨论
前期介绍很通俗,从一些基本数的介绍出发,趣味性很足。
娃看到这里说她记得费马大定理,记录下
思考题有小部分不需要证明出来,是根据正文猜想。推导各类数之间的关联很有趣。比如计算同为三角数与平方数的数。

娃乱七八糟小联想、小笔记挺多,说有些是以前数学科普书里看的,比如《素数的阴谋》等
比如拆解奇素数为平方和,娃还想出了个题,将奇素数因分成复数形式,发现能拆的都是模4余1的数(又可以结合平方数性质来解释),查了下都是高斯素数。(与后几章勾股数组的构造有关联了。)
二、勾股数组
是初始几章里很有意思的部分,构造数组的方式很多样。(最好有函数计算基础,对复平面、向量等有认识,拓展很有趣。)
1、通过分析奇偶,分析平方数性质,推导公式。
关于一组本原勾股数组(即互素的),里面必有2/3/5的倍数,正文里给出了2的证明方式。娃说很喜欢这步证明,跟醇香奶一样美妙,还补充写了在前一步就能完成证明(其他都是4的倍数,有一项却模4余2)。
课后题里,让证明3和5的倍数的情况:娃用平方数的性质,模3余1或0,来证明3的倍数;用平方的尾数(只有0.1.4.5.6.9等情况)组合,来证明5的倍数情况。
(后半题是用一种方法构造一组勾股数组。)
对比下:小蓝本(整除)提及的2、3、5的倍数性质,是作为单独练习题,糅合在同一题里证明完的。


也是构造题(不知为啥还画了个乱乱小设计)
2、书里还用了函数+固定坐标的方式推导勾股数组,但娃也用复平面和向量做了一样的构造结果。

复平面法:第二题就是用的向量运算得出的勾股数组。(有次在店里玩,娃还拿小票背面出题为难爸爸,还自己写了答案纸,不过没画复平面。那天娃倒是给爷爷科普了一回虚数的几何意义,原来爷爷当年大学医学还没学过虚数、复平面。


三、辗转相除法
原本只用它求最大公因数GCD。这书给出了其与线性方程的证明和关联应用,原理讲得非常清楚,后面大量应用到。从这里开始完全是娃自习了,我在单位放了本中文版的,尽量同步看,有时没看就等回家听娃讲一讲。
先是求公因数 gcd
简单的就做书上了

然后是用于线性方程。(二元一次不定方程,求出一组解后列通解)

有时候字有够乱的……部分摘到草稿纸里做。


爷爷友情提供了好多草稿纸

比较了一下奥精、小蓝本的不定方程求整数解,第一组解多半是用尝试法(枚举法),再出通解,普遍性上差一点点,遇到较大数可能会很难凑。
正文学了解二元方程,课后题出了三元的,一开始,我让娃想个通解模式,她还尝试摸了套公式(一拍脑袋就写了,挺好玩,逻辑自洽了,也判断了有公因数的关联,做能做,但凑数还是一样麻烦)
后来福至心灵想起来可以拆成两组分别用辗转法出通解。(小傻子还很高兴,说发现一次不定方程的全解法啦哈哈,给她看了网上有人写的论文23333,人家早就知道了)
之后多元一次不定方程就普遍能解了,包括判定有无整数解。

从小蓝本摘了点题做。


(部分内容跟小学初中很像,就当复习了)


四、同余、费马小定理、欧拉φ相关
娃原来在尖子生系列的整除中学到过同余,倒是一直用得很溜,估计小孩都喜欢这类精简、偷懒的法子。

同余式解决还是会用到辗转法哦

还写错词……(本来是列一下费马小定理的证明)

后来看到欧拉φ定理的证明,说方式与费马小定理一致,还吐槽来着。





求φ值时,说书里用的是代入的归纳法,自己写了个因分的推导模式,不过最后还是归纳法。


这里φ值翻来覆去地求解/倒推/z证明很好玩。




有些题目里要求推五种,娃倒很耐心地推很多、推十来个。

这题本来是求1-9每个数字的1000次的末四位数,就相当于求 mod 10000。娃开始还试探了下能不能用欧拉φ,结果还是用了逐次平方法,需要几次就拆为二进制数的组合。从这题开始熟练使用计算器揿平方找尾数了2333,发现规律非常有趣。(只要算出素数的那些,合数可以由素数的对应次幂得出。)

期间我在网上摘了点题,另外考娃。

不得不说,用到同余规则的地方都反应比较快。

结果娃还说自己总结了点规律(乱来的)



五、素数介绍章,不过主要在后面章节开展


完美数部分,题目做着做着还会画漫画小人23333不注意还真没发现



六、密码学相关
好像从十几章开始都跟密码学有关,这就到她感兴趣的部分了。


这题解码解得蛮逗的,过程中有一步是用辗转法解次数关联的线性方程,娃把正负号搞反了,悲剧啊,本来只要两位数次方的,变成要算六千多次。更没想到的是居然很有毅力地一路算到了,然后解出的码毫无意义。(算二进制数次幂模时,她都检查确认了,怎么就没在辗转法里检查符号呢,小孩好嫩2333)
尽管这样,我还是很感动的,这多繁琐啊,还能坚持下来。我跟娃爸都试着揿了揿计算器,马上泪奔了(毕竟只给了娃一只基础计算器)。当然二进制数的次方也不是白算的,能用上一部分。接下来一张就正本清源,算对了。解码为Fermat。好像是这次被我俩大夸特夸,觉得很有趣,后面几天还编了好几句密码考大人(编码解码的步骤一样繁琐)orz
特别夸一下娃想出的流畅的计算器揿法(①揿 “某数”“x”“ =” 可算该数平方;按"-""某数",再持续按"=",会连减该数),比如揿出2604的平方,为七位数,娃就先连减7081的百倍,再连减其十倍,再连减7081,直到剩余数;接着余数平方,再如上做连减。这样可以连贯揿,而不用每步都记录来记录去求整数倍。娃不会编程,也有其他的收获,起码是动脑解决麻烦了。
数码表对应如图
我断断续续跟进度的,后面的还没拍,待补充整理。
PS:陆续看到有个别题目里的小分题是奥数里出现过的。


线代另开一帖了,估摸着假期能看完一轮。之后再继续看数论。



发表于 2021-7-19 21:18 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
太牛了吧!
发表于 2021-7-19 21:34 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
直接送到麻省理工吧!
发表于 2021-7-19 21:40 | 显示全部楼层 来自: 中国广东深圳
对楼主的娃的天赋已经习惯了!只是突然多了个疑问,楼主小孩还做学校作业吗吗?怎么能挤出那么多时间学这么多东西?
发表于 2021-7-19 21:47 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
值得期待。
 楼主| 发表于 2021-7-19 21:47 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
本帖最后由 lllb 于 2021-7-20 08:52 编辑
深海领域 发表于 2021-7-19 21:40
对楼主的娃的天赋已经习惯了!只是突然多了个疑问,楼主小孩还做学校作业吗吗?怎么能挤出那么多时间学这么 ...

学校的当然就正常做啊,反正公办作业少的,晚饭前就好了,娃是花了更多时间看书+玩。
这儿还有个误区,关于花了多少时间,其实感兴趣、有认识基础的东西并不需要多久。《数论概论》是近学期末开始看的,入门的讨论很轻松,娃也在书上标记了不少联想,反而没有题海的疑惑,所以才看下去了。线代也是翻到MIT教程说很有趣才看的。初始目标是扩扩见闻,实际操作下来的确对初等数学的很多意义、操作更清晰了。
发表于 2021-7-19 22:02 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
医学生高知家庭,膜拜
 楼主| 发表于 2021-7-19 22:04 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
farwhite 发表于 2021-7-19 22:02
医学生高知家庭,膜拜

我不是医生,娃爸看不了娃的部分数学23333
发表于 2021-7-19 22:04 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
这是几年级的小朋友?真牛
 楼主| 发表于 2021-7-19 22:12 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
ryan_lucky 发表于 2021-7-19 22:04
这是几年级的小朋友?真牛

二年级,算新三
发表于 2021-7-19 22:17 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
ryan_lucky 发表于 2021-07-19 22:04
这是几年级的小朋友?真牛

应该是小2升 小3的巨牛
发表于 2021-7-19 22:21 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
一直当榜样教育娃
发表于 2021-7-19 22:23 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
还没过完暑假就有记录看,激动。
发表于 2021-7-19 22:24 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
真不是一般人哪
 楼主| 发表于 2021-7-19 22:26 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
chickenblood 发表于 2021-7-19 22:23
还没过完暑假就有记录看,激动。

汗,现在管娃太少了,怕忽略太多,先收集下。
发表于 2021-7-19 22:40 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
这个就是乐在其中的境界了。巨牛!!!
发表于 2021-7-19 22:49 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
请问楼主,孩子从小怎么学数学的?有什么启蒙书推荐吗?
发表于 2021-7-19 22:58 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
我的嘴到现在还没合上。。。
发表于 2021-7-19 23:22 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
丷丷丷丷丷丷
发表于 2021-7-19 23:30 | 显示全部楼层 来自: 中国浙江杭州
二升三。。。。。
发表于 2021-7-19 23:30 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
哇哇哇哇哇
发表于 2021-7-19 23:33 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
线性代数的教材作者能否说下全名?
发表于 2021-7-19 23:43 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
可以看英文教材了?厉害,英文的书籍确实写的好一些
 楼主| 发表于 2021-7-19 23:46 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
Hellolujah 发表于 2021-7-19 23:33
线性代数的教材作者能否说下全名?

家里正好有David C.Lay的,其他人的也可以。
 楼主| 发表于 2021-7-19 23:46 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
山海 发表于 2021-7-19 22:49
请问楼主,孩子从小怎么学数学的?有什么启蒙书推荐吗?

那太长了……初心版历年有帖记录
 楼主| 发表于 2021-7-19 23:49 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
拉德姆 发表于 2021-7-19 23:43
可以看英文教材了?厉害,英文的书籍确实写的好一些

我有让娃挑选,她选了看英文版,也那好,顺其自然一点。
发表于 2021-7-19 23:51 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
自从了解到有人三年级已经学大学数学了,跨级集训队在他们面前都是普娃,我才觉得我们还是慢慢来吧!
 楼主| 发表于 2021-7-19 23:55 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
kaka2000 发表于 2021-07-19 23:51
自从了解到有人三年级已经学大学数学了,跨级集训队在他们面前都是普娃,我才觉得我们还是慢慢来吧!

这就不好说了,很多人都学过大学数学,集训队的题他们不一定会做。看具体情况吧。
 楼主| 发表于 2021-7-19 23:57 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
lllb 发表于 2021-07-19 23:55
这就不好说了,很多人都学过大学数学,集训队的题他们不一定会做。看具体情况吧。

不过我也不了解集训队有啥题_(:3 ⌒)_
发表于 2021-7-20 00:05 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
lllb 发表于 2021-07-19 23:46
那太长了……初心版历年有帖记录

看不了,刚刚翻了楼主的帖子,好多有趣的书。可惜最想看初心的数学那篇看不了。楼主能发新帖子吗?感谢
 楼主| 发表于 2021-7-20 00:10 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
山海 发表于 2021-07-20 00:05
看不了,刚刚翻了楼主的帖子,好多有趣的书。可惜最想看初心的数学那篇看不了。楼主能发新帖子吗?感谢

要不你去小花生,还是这ID。不过娃的进度乱跳的,有些阶段我没教过,连贯性不好看。
发表于 2021-7-20 00:33 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
lllb 发表于 2021-07-20 00:10
要不你去小花生,还是这ID。不过娃的进度乱跳的,有些阶段我没教过,连贯性不好看。

谢谢楼主谢谢楼主!
发表于 2021-7-20 06:40 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
除了惊叹还是惊叹
发表于 2021-7-20 07:16 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
你让我们普娃的家长情何以堪!
发表于 2021-7-20 07:24 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
为什么不录取上实啊?
发表于 2021-7-20 07:51 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
lllb 发表于 2021-07-19 23:46
家里正好有David C.Lay的,其他人的也可以。

哦哦那我知道了。请问英语阅读这部分能力是如何培养的呢?
发表于 2021-7-20 08:03 | 显示全部楼层 来自: 中国浙江宁波
留个爪印过段时间再来膜拜
 楼主| 发表于 2021-7-20 08:03 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
Hellolujah 发表于 2021-07-20 07:51
哦哦那我知道了。请问英语阅读这部分能力是如何培养的呢?

以前的有老贴说,中间一直是听力、阅读和娃部分笔记保温,时多时少。需要的原版书籍一直是直接看的,应该是以前听看适应了
发表于 2021-7-20 08:13 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
lllb 发表于 2021-07-20 08:03
以前的有老贴说,中间一直是听力、阅读和娃部分笔记保温,时多时少。需要的原版书籍一直是直接看的,应该是以前听看适应了

支持宝妈多晒晒笔记!
发表于 2021-7-20 08:37 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
本帖最后由 kaka2000 于 2021-7-20 08:45 编辑
lllb 发表于 2021-7-19 23:55
这就不好说了,很多人都学过大学数学,集训队的题他们不一定会做。看具体情况吧。

当然是在JXD内的人,其实很多JXD的人看不上JXD!
发表于 2021-7-20 08:43 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
太厉害了!!!!父母厉害,孩子也厉害!
发表于 2021-7-20 08:47 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
太恐怖了,膜拜
发表于 2021-7-20 08:53 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
这不属于牛娃的范畴了,属于超常儿童。
发表于 2021-7-20 17:23 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
谢谢楼主,小花生已经关注你啦,受益良多。想问问你宝宝的英语,现在是科学探索者为主吗?画了很多画的,是根据这本书吗?看到帖子里有2张英语书的图片,看起来不错,科学类的,还有生词单独列出来。请问是科学探索者吗?
 楼主| 发表于 2021-7-20 17:30 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
山海 发表于 2021-07-20 17:23
谢谢楼主,小花生已经关注你啦,受益良多。想问问你宝宝的英语,现在是科学探索者为主吗?画了很多画的,是根据这本书吗?看到帖子里有2张英语书的图片,看起来不错,科学类的,还有生词单独列出来。请问是科学探索者吗?

是探索者。笔记方面是探索者为主,内容倒不一定,有感兴趣的书会看的,数学之类也是英文教材,随娃选
发表于 2021-7-21 00:03 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
公办学校读着不浪费时间吗?都可以教老师了 啊
发表于 2021-7-21 08:38 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
lllb 发表于 2021-07-20 17:30
是探索者。笔记方面是探索者为主,内容倒不一定,有感兴趣的书会看的,数学之类也是英文教材,随娃选

感谢楼主,楼主和娃都是超牛啊。数论我看不懂,辅导不了孩子。有简单些引导的书推荐吗?
 楼主| 发表于 2021-7-21 09:42 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
山海 发表于 2021-07-21 08:38
感谢楼主,楼主和娃都是超牛啊。数论我看不懂,辅导不了孩子。有简单些引导的书推荐吗?

我对其他宝宝没经验哦。不知道你宝宝多大,小的话先看看有兴趣不,比如 可怕的数学 系列。大的话你看学六年级那些数论怎么样,市北之类的,课内的反应还可以的话再拓展。
 楼主| 发表于 2021-7-21 09:43 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
小怪兽112 发表于 2021-07-21 00:03
公办学校读着不浪费时间吗?都可以教老师了 啊

想得挺美2333
课外可以不着四六,爱看啥看啥,课内还不是要老老实实跟好。
发表于 2021-7-21 09:52 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
华二 上中的竞赛老师赶紧联系楼主。
这样的苗子上海一年没几个
目标要定为IMO金牌
女生拿IMO金牌太少见了
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