北京卷的数学压轴题，需要有点小奥功底
本帖最后由 scholes 于 2022-6-8 14:54 编辑今年这道题几乎不需要什么知识储备，理论上你只要知道有理数基本概念以及数列这个定义，就可以做了，不需要什么额外的高深内容。
小奥是有原题的，如果没刷过小奥题，那考场上遇到就有点麻烦了，这题就是考察智商和数学感觉，脑子不够的，高中阶段再怎么刷题也是刷不出来的。
感觉2 3都可以通过反证法解决吧……记得高中数列基本上就要么反证，要么归纳… 我读都读不下来了……想想高三的我真博学啊 我感觉我没读过高中https://app.qianfanedu.cn/public/emotion/face_013.png 1，天哪，没想到数学知识回落的也这么快 这题第二第三问可以算高联一试的中高难度题，北京高考现在也很卷了。 第一题是送分吧，根据概念验算就是了。
第二题一般同学反证，高手可以列式证明。
第三题只能让高手证明。
难道层层递进。不至于交白卷也不容易得高分。 本帖最后由 kaka2000 于 2022-6-8 17:25 编辑
特殊的排列组合问题了
(II)因为三个数最多只有6种组合值了，不可能组成8-连续可表数列
（III）同理5个数以下不可能，讨论6个数，最多只有21中组合值，和<20，说明至少有一个负数，最多也只能有一个负数，这个负数不能算，21-1=20，如果要组成连续可表数列，那么剩下5个数和必然为20，而且不能重复，因为有负数而且最小的正整数必然大于1，5个正整数不重复的只能是2,3,4,5,6这5个数，显然负数只能是-1，这是不能组成连续可表数列的，所以。。。。
这个为什么高考题？ 太简单了。 kaka2000 发表于 2022-06-08 17:24
本帖最后由 kaka2000 于 2022-6-8 17:25 编辑
特殊的排列组合问题了
(II)因为三个数最多只有6种组合值了，不可能组成8-连续可表数列
（III）同理5个数以下不可能，讨论6个数，最多只有21中组合值，和<20，说明至少有一个负数，最多也只能有一个负数，这个负数不能算，21-1=20，如果要组成连续可表数列，那么剩下5个数和必然为20，而且不能重复，因为有负数而且最小的正整数必然大于1，5个正整数不重复的只能是2,3,4,5,6这5个数，显然负数只能是-1，这是不能组成连续可表数列的，所以。。。。
这个为什么高考题？
如果是-1，旁边是3，其他几个数是1 4 5 7的排列呢？如果是-2，旁边是4，还有1 3 5 7的排列呢？6可以通过连续和产生，按这个思路做下去，很难说明确实包含了一切情况。
这题能作为高考题，主要考的就是思维严密性，可以先说明负数在首尾，再利用极端原理适当枚举，也可以对所有连续和求和，先说明负数是偶数，再做一些估计，这些都是很常见的组合思维，从这个角度看，难度确实在小学层次 小奥有原题？值得怀疑。高考最后一题做不出来也很正常，本来也不是给大多数人做的，不过北京的牛娃都是985清北基因工程的产物，不能以常人度之。 应该和全国一卷的最后一道大题比一下！ 压轴题，现在也必答了么 看不懂，更做不来 我看不懂，1，2，4，8，5，-1，一共六个数，加起来等于19，从1到20全部能表示，这不是一样符合题意吗 chenbuji 发表于 2022-06-08 22:58
我看不懂，1，2，4，8，5，-1，一共六个数，加起来等于19，从1到20全部能表示，这不是一样符合题意吗
条件是正整数 上海因为不学微分，所以难度降低很多。全国卷很多函数题都要求导，求出极点，再分类讨论 题目里没有写Q这个数列都是正整数啊，而且如果都是正整数的话，a1+a2+……+ak都不到20，这个数列他们怎么可能表示得出20？ 嘿嘿 发表于 2022-06-08 23:04
条件是正整数
题目里没有写Q这个数列都是正整数啊，而且如果都是正整数的话，a1+a2+……+ak都不到20，这个数列他们怎么可能表示得出20？ chenbuji 发表于 2022-6-8 22:58
我看不懂，1，2，4，8，5，-1，一共六个数，加起来等于19，从1到20全部能表示，这不是一样符合题意吗
要连续加，不能跳。
所以你这个凑不出5，因为1和4中间有2 jbean 发表于 2022-06-08 23:17
要连续加，不能跳。
所以你这个凑不出5，因为1和4中间有2
啊，是的，我看错了。我前面想了一下，这题其实挺难的，分类和排除要求都很高，比其他所有试卷的压轴题都要更难 第三问感觉用抽屉原理吧，用反证法，设Q（n)为满足条件而选取数列中的数的个数，则Q（1）不大于n,Q(2)不大于n-1....,假如n为6，则最多有1+2+...6=21个不同的数，而题目为20-，则说明这些数中有一个是重复的，或不在1到20之间，且另外的条件是其和小于20，则必有一个数是负数，由于是20个连续数，则该负数除了自己单独未被选中外，必然与其他数同时选中，因为其他5个数必然为正数，则1必然在该序列中，当该负数与1组合时，值小于1，那么就存在两个不满足20个连续数的要求的数，所以假设6不成立，则k大于等于7 第二问，可以这样解吗？假设K=3，a1,a2,a3的组合只有a1,a2,a3,a1+a2,a2+a3,a1+a2+a3这6种组合，不可能得到8个不同的值。 拉德姆 发表于 2022-06-08 22:12
压轴题，现在也必答了么
我都怀疑这些人参加过高考吗？选拔类考试难道每道题都简单都要做得出？ 本帖最后由 kaka2000 于 2022-6-9 11:27 编辑
davidli 发表于 2022-6-8 18:35
如果是-1，旁边是3，其他几个数是1 4 5 7的排列呢？如果是-2，旁边是4，还有1 3 5 7的排列呢？6可以通过 ...
1和-1这种相对数是不可能同时出现的在数列里的，两头抵消，会出现组合值重复，而只剩下20种组合，如果出现重复组合值，那不可能是20-连续可表数列，
假设K=6时存在这个数列，必然满足以下条件
1、这个数列只能含有一个负数，
2、剩下5个正整数不能重复、
3、剩下的5个整数不能是负数的绝对值相等
4、剩下的5个正整数和等于20：
5、剩下的5个正整数中最大的不超过10
6、这个负数绝对值必然小于最大正整数
7、这个负数必然只能比他大的正整数相邻
8、这个数列必然含1，否则只能是-1,2,3,4,5,6，不是20-可表数列
9、最大正整数必然大于6
假设五个正整数最大整数为m，那个负数n，只要证明有组合值重复就可以了
m=10时，其他四个正整数只能为1,2,3,4,那么得n只能取-5到-9，n只能和m相邻，n<-5时(n,m)组合值必然然与1,2,3,4其中一个值相等，那么讨论n=-5,-5和10必然相邻，而剩下的1,4必须相邻，出现组合值重复，所以m=10不行
m=9时，在1-8中取其中4个正整数使得5个正整数和是20，由于必含1，只能是1,2,3,5，我们负数只能取-4,-6,-7,-8，无论负数和谁相邻都存在重复。
m=8时，在1-7中取其中4个正整数使得5个正整数和是20，由于必含1，所以1,2,4,5（负数只能取-3，-6，-7）或,1,2,3,6（负数只能取-4,-5,-7）,，易证存在重复
m=7时，在1-6中取其中4个正整数使得5个正整数和是20，由于必含1，只能是1,2,4,6（负数只能取-3,-5）或,1,3,4,5,（负数只能取-2,-6）易证存在重复
最后一题的最后两问。。。做不出来很正常，我当年是直接放弃的，题都不想看 k=6最多表示21个数，又a1+a2+a3+a4+a5+a6<20，可知其中有一个负数，除该负数外，其余20个能表示1-20这20个数字。
如果负数不在首尾，易知所有可表示的数均小于20。
不妨设a1为负数，a2+a3+a4+a5+a6能表示最大数即20。
对1-20求和可得
5a1+6a6+10a2+10a5+12a3+12a4=210
可得 2a2+2a5+6a6=30+5a1
可得a1为偶数，若a1<=-4， 则a2+a5+3a6<=5，a2、a5、a6均只能取1，矛盾。
所以a1=-2，则a2+a5+3a6=10
若a6=2，则a2=3 a5=1，a1+a2=a5，矛盾。
所以a6=1，a2+a5=7
若a2=3，a1+a2=a6，矛盾。
若a2=4，则a5=3，a2=a5+a6，矛盾。
若a2=5，则a5=2，a1+a2=a5+a6，矛盾。
若a2=6，则a5=1=a6，矛盾。
所以k=6无法表示，k>=7，得证。
作为一个记性不太好的考试型学生表示，考完就全部还给老师了https://app.qianfanedu.cn/public/emotion/face_047.png
会解题的家长真厉害 本帖最后由 davidli 于 2022-6-9 15:19 编辑
kaka2000 发表于 2022-06-09 11:24
本帖最后由 kaka2000 于 2022-6-9 11:27 编辑
1和-1这种相对数是不可能同时出现的在数列里的，两头抵消，会出现组合值重复，而只剩下20种组合，如果出现重复组合值，那不可能是20-连续可表数列，
假设K=6时存在这个数列，必然满足以下条件
1、这个数列只能含有一个负数，
2、剩下5个正整数不能重复、
3、剩下的5个整数不能是负数的绝对值相等
4、剩下的5个正整数和等于20：
5、剩下的5个正整数中最大的不超过10
6、这个负数绝对值必然小于最大正整数
7、这个负数必然只能比他大的正整数相邻
8、这个数列必然含1，否则只能是-1,2,3,4,5,6，不是20-可表数列
9、最大正整数必然大于6
假设五个正整数最大整数为m，那个负数n，只要证明有组合值重复就可以了
m=10时，其他四个正整数只能为1,2,3,4,那么得n只能取-5到-9，n只能和m相邻，n<-5时(n,m)组合值必然然与1,2,3,4其中一个值相等，那么讨论n=-5,-5和10必然相邻，而剩下的1,4必须相邻，出现组合值重复，所以m=10不行
m=9时，在1-8中取其中4个正整数使得5个正整数和是20，由于必含1，只能是1,2,3,5，我们负数只能取-4,-6,-7,-8，无论负数和谁相邻都存在重复。
m=8时，在1-7中取其中4个正整数使得5个正整数和是20，由于必含1，所以1,2,4,5（负数只能取-3，-6，-7）或,1,2,3,6（负数只能取-4,-5,-7）,，易证存在重复
m=7时，在1-6中取其中4个正整数使得5个正整数和是20，由于必含1，只能是1,2,4,6（负数只能取-3,-5）或,1,3,4,5,（负数只能取-2,-6）易证存在重复
这就是典型的枚举法了，考场上如果按这种方法，肯定要花大量时间，而且每一步都必须把理由解释清楚。实际上，枚举只需要做两种情况，先考虑整体，所有连续和求和，易知负数是偶数。然后利用极端原理，考虑接近20的连续和。不妨假设负数是第一项，分两种情况
1.如果负数小于等于-4，则第二项大于等于5，为了得到19，尾项必须是1，则倒数第二项不小于2，此时得不到18
2.如果负数为-2，则第二项不小于3，此时尾项还是1，所以第二项不小于4，倒数第二项不小于3，此时得不到15 davidli 发表于 2022-06-09 15:07
本帖最后由 davidli 于 2022-6-9 15:19 编辑
这就是典型的枚举法了，考场上如果按这种方法，肯定要花大量时间，而且每一步都必须把理由解释清楚。实际上，枚举只需要做两种情况，先考虑整体，所有连续和求和，易知负数是偶数。然后利用极端原理，考虑接近20的连续和。不妨假设负数是第一项，分两种情况
1.如果负数小于等于-4，则第二项大于等于5，为了得到19，尾项必须是1，则倒数第二项不小于2，此时得不到18
2.如果负数为-2，则第二项不小于3，此时尾项还是1，所以第二项不小于4，倒数第二项不小于3，此时得不到15
大卫老师觉得这题和上海的压轴题相比较如何?
上海也很喜欢用集合数列做外壳搞这种新定义的题目 scholes 发表于 2022-06-09 18:15
大卫老师觉得这题和上海的压轴题相比较如何?
上海也很喜欢用集合数列做外壳搞这种新定义的题目
北京和上海的数列题还是有区别的，虽然主要考的都是组合思维，但北京比较强调技巧，比如数归、上下界估计、抽屉原理、极端原理、不变量、奇偶分析、算法背景的题也有很多。上海比较喜欢加包装，更强调一些较原始的解题策略而非技巧，比如化归、从特殊性看问题、任意存在性拆包装、数形结合，实际难度体验比北京要简单，也有人戏称上海考的是小学组合题 本帖最后由 kaka2000 于 2022-6-10 10:35 编辑
davidli 发表于 2022-6-9 15:07
这就是典型的枚举法了，考场上如果按这种方法，肯定要花大量时间，而且每一步都必须把理由解释清楚。实 ...
枚举法是个好方法，可以用于发现规律和问题，但是需要全面缜密的思考！我想到一个新的思路！完整的证明一下！
首先K<=5不成立，因为组合值不超过15种，不可能是20-连续可表数列
假设存在符合题目条件的K=6的20-连续可表数列，
按照定义，数列各项存在1+2+3+4+5+6=21种组合情况，
由于a1+a2+....+a6<20,易知数列种必然存在而且仅存在一个负数项
去除负数单项组合，这时数列仅存21-1=20种组合情况，而且这20种组合的和必须都是正整数，并且不能相等，那么负数项与相邻项和必然大于零。
如果负数n位于数列中间，也就是两边都存在相邻数a1,,,ai,n,ai+1..a6，那么a1+a2...+a6必然是所有组合中的最大值,那么a1+a2...+a6=20，与条件矛盾，所以负数必然位于首尾。
借用上面@qinruoxi 的证明 a1必为偶数
由于对称性，我们假设负数是数列为首项a1,那么a2+a3+...+a6=20，
设m=a1+a2>0,由上面推导易知m和a2,....a6不能相等
所以m,a3,a4,a5,a6是5个不相等的正整数，而m+a3+a4+a5+a6=a1+a2+a3...+a6<20，m,a3,a4,a5,a6只可能有两种情况
第一种情况：1，2，3，4，5，
这时m+a3+a4+a5+a6=15，即a1+a2+....+a6=15,那么a1=-5，不是偶数，矛盾！
第二种情况：1，3，4，5，6
这里这时m+a3+a4+a5+a6=19，即a1+a2+....+a6=19,那么a1=-1，不是偶数，矛盾！
由此知所有情况均不可成立，所以不存在k=6的情况，所以K>=7。
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