scholes 发表于 2022-6-8 14:40

北京卷的数学压轴题,需要有点小奥功底

本帖最后由 scholes 于 2022-6-8 14:54 编辑

今年这道题几乎不需要什么知识储备,理论上你只要知道有理数基本概念以及数列这个定义,就可以做了,不需要什么额外的高深内容。
小奥是有原题的,如果没刷过小奥题,那考场上遇到就有点麻烦了,这题就是考察智商和数学感觉,脑子不够的,高中阶段再怎么刷题也是刷不出来的。

Anderson 发表于 2022-6-8 15:57

感觉2 3都可以通过反证法解决吧……记得高中数列基本上就要么反证,要么归纳…

阿喵 发表于 2022-6-8 15:58

我读都读不下来了……想想高三的我真博学啊

sly_shining 发表于 2022-6-8 16:04

我感觉我没读过高中https://app.qianfanedu.cn/public/emotion/face_013.png

Grace馨悦 发表于 2022-6-8 16:10

1,天哪,没想到数学知识回落的也这么快

云泽汇 发表于 2022-6-8 17:02

这题第二第三问可以算高联一试的中高难度题,北京高考现在也很卷了。

xingxing爸爸 发表于 2022-6-8 17:08

第一题是送分吧,根据概念验算就是了。
第二题一般同学反证,高手可以列式证明。
第三题只能让高手证明。

难道层层递进。不至于交白卷也不容易得高分。

kaka2000 发表于 2022-6-8 17:24

本帖最后由 kaka2000 于 2022-6-8 17:25 编辑

特殊的排列组合问题了
(II)因为三个数最多只有6种组合值了,不可能组成8-连续可表数列
(III)同理5个数以下不可能,讨论6个数,最多只有21中组合值,和<20,说明至少有一个负数,最多也只能有一个负数,这个负数不能算,21-1=20,如果要组成连续可表数列,那么剩下5个数和必然为20,而且不能重复,因为有负数而且最小的正整数必然大于1,5个正整数不重复的只能是2,3,4,5,6这5个数,显然负数只能是-1,这是不能组成连续可表数列的,所以。。。。
这个为什么高考题?

嘿嘿 发表于 2022-6-8 17:46

太简单了。

davidli 发表于 2022-6-8 18:35

kaka2000 发表于 2022-06-08 17:24
本帖最后由 kaka2000 于 2022-6-8 17:25 编辑

特殊的排列组合问题了
(II)因为三个数最多只有6种组合值了,不可能组成8-连续可表数列
(III)同理5个数以下不可能,讨论6个数,最多只有21中组合值,和&lt;20,说明至少有一个负数,最多也只能有一个负数,这个负数不能算,21-1=20,如果要组成连续可表数列,那么剩下5个数和必然为20,而且不能重复,因为有负数而且最小的正整数必然大于1,5个正整数不重复的只能是2,3,4,5,6这5个数,显然负数只能是-1,这是不能组成连续可表数列的,所以。。。。
这个为什么高考题?

如果是-1,旁边是3,其他几个数是1 4 5 7的排列呢?如果是-2,旁边是4,还有1 3 5 7的排列呢?6可以通过连续和产生,按这个思路做下去,很难说明确实包含了一切情况。
这题能作为高考题,主要考的就是思维严密性,可以先说明负数在首尾,再利用极端原理适当枚举,也可以对所有连续和求和,先说明负数是偶数,再做一些估计,这些都是很常见的组合思维,从这个角度看,难度确实在小学层次

atlarge 发表于 2022-6-8 19:29

小奥有原题?值得怀疑。高考最后一题做不出来也很正常,本来也不是给大多数人做的,不过北京的牛娃都是985清北基因工程的产物,不能以常人度之。

溪妈瑶瑶 发表于 2022-6-8 20:57

应该和全国一卷的最后一道大题比一下!

拉德姆 发表于 2022-6-8 22:12

压轴题,现在也必答了么

cqtaomi 发表于 2022-6-8 22:24

看不懂,更做不来

chenbuji 发表于 2022-6-8 22:58

我看不懂,1,2,4,8,5,-1,一共六个数,加起来等于19,从1到20全部能表示,这不是一样符合题意吗

嘿嘿 发表于 2022-6-8 23:04

chenbuji 发表于 2022-06-08 22:58
我看不懂,1,2,4,8,5,-1,一共六个数,加起来等于19,从1到20全部能表示,这不是一样符合题意吗

条件是正整数

嘿嘿 发表于 2022-6-8 23:06

上海因为不学微分,所以难度降低很多。全国卷很多函数题都要求导,求出极点,再分类讨论

chenbuji 发表于 2022-6-8 23:08

题目里没有写Q这个数列都是正整数啊,而且如果都是正整数的话,a1+a2+……+ak都不到20,这个数列他们怎么可能表示得出20?

chenbuji 发表于 2022-6-8 23:15

嘿嘿 发表于 2022-06-08 23:04
条件是正整数

题目里没有写Q这个数列都是正整数啊,而且如果都是正整数的话,a1+a2+……+ak都不到20,这个数列他们怎么可能表示得出20?

jbean 发表于 2022-6-8 23:17

chenbuji 发表于 2022-6-8 22:58
我看不懂,1,2,4,8,5,-1,一共六个数,加起来等于19,从1到20全部能表示,这不是一样符合题意吗

要连续加,不能跳。
所以你这个凑不出5,因为1和4中间有2

chenbuji 发表于 2022-6-9 02:05

jbean 发表于 2022-06-08 23:17
要连续加,不能跳。
所以你这个凑不出5,因为1和4中间有2

啊,是的,我看错了。我前面想了一下,这题其实挺难的,分类和排除要求都很高,比其他所有试卷的压轴题都要更难

roammer 发表于 2022-6-9 06:46

第三问感觉用抽屉原理吧,用反证法,设Q(n)为满足条件而选取数列中的数的个数,则Q(1)不大于n,Q(2)不大于n-1....,假如n为6,则最多有1+2+...6=21个不同的数,而题目为20-,则说明这些数中有一个是重复的,或不在1到20之间,且另外的条件是其和小于20,则必有一个数是负数,由于是20个连续数,则该负数除了自己单独未被选中外,必然与其他数同时选中,因为其他5个数必然为正数,则1必然在该序列中,当该负数与1组合时,值小于1,那么就存在两个不满足20个连续数的要求的数,所以假设6不成立,则k大于等于7

stiff 发表于 2022-6-9 08:12

第二问,可以这样解吗?假设K=3,a1,a2,a3的组合只有a1,a2,a3,a1+a2,a2+a3,a1+a2+a3这6种组合,不可能得到8个不同的值。

Feiloveyuan 发表于 2022-6-9 10:53

拉德姆 发表于 2022-06-08 22:12
压轴题,现在也必答了么

我都怀疑这些人参加过高考吗?选拔类考试难道每道题都简单都要做得出?

kaka2000 发表于 2022-6-9 11:24

本帖最后由 kaka2000 于 2022-6-9 11:27 编辑

davidli 发表于 2022-6-8 18:35
如果是-1,旁边是3,其他几个数是1 4 5 7的排列呢?如果是-2,旁边是4,还有1 3 5 7的排列呢?6可以通过 ...
1和-1这种相对数是不可能同时出现的在数列里的,两头抵消,会出现组合值重复,而只剩下20种组合,如果出现重复组合值,那不可能是20-连续可表数列,

假设K=6时存在这个数列,必然满足以下条件
1、这个数列只能含有一个负数,
2、剩下5个正整数不能重复、
3、剩下的5个整数不能是负数的绝对值相等
4、剩下的5个正整数和等于20:
5、剩下的5个正整数中最大的不超过10
6、这个负数绝对值必然小于最大正整数
7、这个负数必然只能比他大的正整数相邻
8、这个数列必然含1,否则只能是-1,2,3,4,5,6,不是20-可表数列
9、最大正整数必然大于6

假设五个正整数最大整数为m,那个负数n,只要证明有组合值重复就可以了

m=10时,其他四个正整数只能为1,2,3,4,那么得n只能取-5到-9,n只能和m相邻,n<-5时(n,m)组合值必然然与1,2,3,4其中一个值相等,那么讨论n=-5,-5和10必然相邻,而剩下的1,4必须相邻,出现组合值重复,所以m=10不行
m=9时,在1-8中取其中4个正整数使得5个正整数和是20,由于必含1,只能是1,2,3,5,我们负数只能取-4,-6,-7,-8,无论负数和谁相邻都存在重复。
m=8时,在1-7中取其中4个正整数使得5个正整数和是20,由于必含1,所以1,2,4,5(负数只能取-3,-6,-7)或,1,2,3,6(负数只能取-4,-5,-7),,易证存在重复
m=7时,在1-6中取其中4个正整数使得5个正整数和是20,由于必含1,只能是1,2,4,6(负数只能取-3,-5)或,1,3,4,5,(负数只能取-2,-6)易证存在重复

Sycc 发表于 2022-6-9 12:30

最后一题的最后两问。。。做不出来很正常,我当年是直接放弃的,题都不想看

qinruoxi 发表于 2022-6-9 14:43

k=6最多表示21个数,又a1+a2+a3+a4+a5+a6<20,可知其中有一个负数,除该负数外,其余20个能表示1-20这20个数字。
如果负数不在首尾,易知所有可表示的数均小于20。
不妨设a1为负数,a2+a3+a4+a5+a6能表示最大数即20。
对1-20求和可得
5a1+6a6+10a2+10a5+12a3+12a4=210
可得 2a2+2a5+6a6=30+5a1
可得a1为偶数,若a1<=-4, 则a2+a5+3a6<=5,a2、a5、a6均只能取1,矛盾。
所以a1=-2,则a2+a5+3a6=10
若a6=2,则a2=3 a5=1,a1+a2=a5,矛盾。
所以a6=1,a2+a5=7
若a2=3,a1+a2=a6,矛盾。
若a2=4,则a5=3,a2=a5+a6,矛盾。
若a2=5,则a5=2,a1+a2=a5+a6,矛盾。
若a2=6,则a5=1=a6,矛盾。
所以k=6无法表示,k>=7,得证。

CaroleT 发表于 2022-6-9 15:05

作为一个记性不太好的考试型学生表示,考完就全部还给老师了https://app.qianfanedu.cn/public/emotion/face_047.png
会解题的家长真厉害

davidli 发表于 2022-6-9 15:07

本帖最后由 davidli 于 2022-6-9 15:19 编辑

kaka2000 发表于 2022-06-09 11:24
本帖最后由 kaka2000 于 2022-6-9 11:27 编辑


1和-1这种相对数是不可能同时出现的在数列里的,两头抵消,会出现组合值重复,而只剩下20种组合,如果出现重复组合值,那不可能是20-连续可表数列,

假设K=6时存在这个数列,必然满足以下条件
1、这个数列只能含有一个负数,
2、剩下5个正整数不能重复、
3、剩下的5个整数不能是负数的绝对值相等
4、剩下的5个正整数和等于20:
5、剩下的5个正整数中最大的不超过10
6、这个负数绝对值必然小于最大正整数
7、这个负数必然只能比他大的正整数相邻
8、这个数列必然含1,否则只能是-1,2,3,4,5,6,不是20-可表数列
9、最大正整数必然大于6

假设五个正整数最大整数为m,那个负数n,只要证明有组合值重复就可以了

m=10时,其他四个正整数只能为1,2,3,4,那么得n只能取-5到-9,n只能和m相邻,n&lt;-5时(n,m)组合值必然然与1,2,3,4其中一个值相等,那么讨论n=-5,-5和10必然相邻,而剩下的1,4必须相邻,出现组合值重复,所以m=10不行
m=9时,在1-8中取其中4个正整数使得5个正整数和是20,由于必含1,只能是1,2,3,5,我们负数只能取-4,-6,-7,-8,无论负数和谁相邻都存在重复。
m=8时,在1-7中取其中4个正整数使得5个正整数和是20,由于必含1,所以1,2,4,5(负数只能取-3,-6,-7)或,1,2,3,6(负数只能取-4,-5,-7),,易证存在重复
m=7时,在1-6中取其中4个正整数使得5个正整数和是20,由于必含1,只能是1,2,4,6(负数只能取-3,-5)或,1,3,4,5,(负数只能取-2,-6)易证存在重复

这就是典型的枚举法了,考场上如果按这种方法,肯定要花大量时间,而且每一步都必须把理由解释清楚。实际上,枚举只需要做两种情况,先考虑整体,所有连续和求和,易知负数是偶数。然后利用极端原理,考虑接近20的连续和。不妨假设负数是第一项,分两种情况
1.如果负数小于等于-4,则第二项大于等于5,为了得到19,尾项必须是1,则倒数第二项不小于2,此时得不到18
2.如果负数为-2,则第二项不小于3,此时尾项还是1,所以第二项不小于4,倒数第二项不小于3,此时得不到15

scholes 发表于 2022-6-9 18:15

davidli 发表于 2022-06-09 15:07
本帖最后由 davidli 于 2022-6-9 15:19 编辑



这就是典型的枚举法了,考场上如果按这种方法,肯定要花大量时间,而且每一步都必须把理由解释清楚。实际上,枚举只需要做两种情况,先考虑整体,所有连续和求和,易知负数是偶数。然后利用极端原理,考虑接近20的连续和。不妨假设负数是第一项,分两种情况
1.如果负数小于等于-4,则第二项大于等于5,为了得到19,尾项必须是1,则倒数第二项不小于2,此时得不到18
2.如果负数为-2,则第二项不小于3,此时尾项还是1,所以第二项不小于4,倒数第二项不小于3,此时得不到15

大卫老师觉得这题和上海的压轴题相比较如何?
上海也很喜欢用集合数列做外壳搞这种新定义的题目

davidli 发表于 2022-6-9 19:22

scholes 发表于 2022-06-09 18:15
大卫老师觉得这题和上海的压轴题相比较如何?
上海也很喜欢用集合数列做外壳搞这种新定义的题目

北京和上海的数列题还是有区别的,虽然主要考的都是组合思维,但北京比较强调技巧,比如数归、上下界估计、抽屉原理、极端原理、不变量、奇偶分析、算法背景的题也有很多。上海比较喜欢加包装,更强调一些较原始的解题策略而非技巧,比如化归、从特殊性看问题、任意存在性拆包装、数形结合,实际难度体验比北京要简单,也有人戏称上海考的是小学组合题

kaka2000 发表于 2022-6-9 20:36

本帖最后由 kaka2000 于 2022-6-10 10:35 编辑

davidli 发表于 2022-6-9 15:07
这就是典型的枚举法了,考场上如果按这种方法,肯定要花大量时间,而且每一步都必须把理由解释清楚。实 ...
枚举法是个好方法,可以用于发现规律和问题,但是需要全面缜密的思考!我想到一个新的思路!完整的证明一下!

首先K<=5不成立,因为组合值不超过15种,不可能是20-连续可表数列
假设存在符合题目条件的K=6的20-连续可表数列,
按照定义,数列各项存在1+2+3+4+5+6=21种组合情况,
由于a1+a2+....+a6<20,易知数列种必然存在而且仅存在一个负数项
去除负数单项组合,这时数列仅存21-1=20种组合情况,而且这20种组合的和必须都是正整数,并且不能相等,那么负数项与相邻项和必然大于零。
如果负数n位于数列中间,也就是两边都存在相邻数a1,,,ai,n,ai+1..a6,那么a1+a2...+a6必然是所有组合中的最大值,那么a1+a2...+a6=20,与条件矛盾,所以负数必然位于首尾。
借用上面@qinruoxi 的证明 a1必为偶数
由于对称性,我们假设负数是数列为首项a1,那么a2+a3+...+a6=20,
设m=a1+a2>0,由上面推导易知m和a2,....a6不能相等
所以m,a3,a4,a5,a6是5个不相等的正整数,而m+a3+a4+a5+a6=a1+a2+a3...+a6<20,m,a3,a4,a5,a6只可能有两种情况
第一种情况:1,2,3,4,5,
这时m+a3+a4+a5+a6=15,即a1+a2+....+a6=15,那么a1=-5,不是偶数,矛盾!
第二种情况:1,3,4,5,6
这里这时m+a3+a4+a5+a6=19,即a1+a2+....+a6=19,那么a1=-1,不是偶数,矛盾!
由此知所有情况均不可成立,所以不存在k=6的情况,所以K>=7。



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