徐汇2023年数学一模最后一题
大家看下，据说做出来的不多。晚点我给个解答。
前两问我会，
第三问我废 做了好久，好像是cos36 第三问我家娃也没扣出https://app.qianfanedu.cn/public/emotion/face_020.png 第三问，简单倒角后，会发现三角形EFD全等于ECD，所以很快计算出菱形的角B等于72度，问题转化为求cos36。
cos36熟悉的人马上就知道答案，如果不熟悉，也可以利用等腰三角形ABd和Abf的相似关系计算得出cos36，也就是（根号5+1）/4 补充一下，能顺利倒角的前提是，要马上看出来AF＝BF＝CF的关系。 这样的压轴题我比较喜欢，我最讨厌那种变态的分类讨论和暴力计算。这题考生只要注意观察图形，耐心倒角，搞清楚里面的角度线段的等量关系，题目就非常简单，顺利的话，这一问的耗时不会超过10分钟。 我来试试看。。。 本帖最后由 huhuyang2010 于 2023-3-1 14:17 编辑
1）角BAF=角BFE-角ABD=角ABC-角ABD=角ABF=角ADB，显然相似
2）容易看出AF=BF=FC，case1 角AEC=90度，角ABC=60度；case2 角EFC=90度，角ABC=45度； case3 角FCE=90度，不行
3）角EFD=角ECD，设ED交FC与G，在GC上取GH=GF，可以推出H与C重合（反证法，如果不重合，导出角EFD与角ECD不等矛盾），FD=CD。
有1得，BC*BC=BF*BD，设BD=b, BC=a，a*a=(b-a)*b=>b/a=(sqrt(5)+1)/2，cosABD=(sqrt(5)+1)/4=cos36
FD=CD不知道还有没有更好的证法？ huhuyang2010 发表于 2023-3-1 14:04
1）角BAF=角BFE-角ABD=角ABC-角ABD=角ABF=角ADB，显然相似
2）容易看出AF=BF=FC，case1 角AEC=90度，角ABC ...
我是直接做第三问的。
这么看来，既然第二问就已经提示了要倒角，并且要利用AF=BF=CF的关系，
那第三问难度就很低了。 scholes 发表于 2023-03-01 15:12
我是直接做第三问的。
这么看来，既然第二问就已经提示了要倒角，并且要利用AF=BF=CF的关系，
那第三问难度就很低了。
倒角怎么搞，愿闻其详 ABF和C B F全等，所以角B AE角BCF角DBC，所以FEC和BFC和BAD相似，所以FEC是等腰三角形，高平分EC，SAS三角形DFG和DCG全等，所以FDDC rainyttdd 发表于 2023-03-02 07:46
ABF和C B F全等，所以角B AE角BCF角DBC，所以FEC和BFC和BAD相似，所以FEC是等腰三角形，高平分EC，SAS三角形DFG和DCG全等，所以FDDC
角B AE角BCF角DBC想等，等号没显示出来 第三问做不出来，几何忘记的差不多了，特别是垂直关系不知道怎么利用。另外初中就要求求cos36了？我怎么感觉以前高中也不要求啊，是不是记错了。 rainyttdd 发表于 2023-03-02 07:46
ABF和C B F全等，所以角B AE角BCF角DBC，所以FEC和BFC和BAD相似，所以FEC是等腰三角形，高平分EC，SAS三角形DFG和DCG全等，所以FDDC
逻辑有问题，FEC等腰没有垂直条件推导不出来 FEC和BFC和BAD相似，BAD是等腰三角形，FEC等腰 我也不太会 rainyttdd 发表于 2023-3-2 09:23
FEC和BFC和BAD相似，BAD是等腰三角形，FEC等腰
FEC和BFC相似，没看出来，可以列一下比例式过程么？ stiff 发表于 2023-03-02 08:31
第三问做不出来，几何忘记的差不多了，特别是垂直关系不知道怎么利用。另外初中就要求求cos36了？我怎么感觉以前高中也不要求啊，是不是记错了。
小孩上了初中开始做压轴题，跟着做就都想起来了，难点的题基本要证两次以上全等相似 huhuyang2010 发表于 2023-03-02 09:52
FEC和BFC相似，没看出来，可以列一下比例式过程么？
这个要来回倒角，要写出来，手机打字太麻烦 再提供一个不用反证法的思路。
FC交DE于G，AC交BD与O，设AB=a, BD=b，则
BF=AF=FC=a^2/b， DF=(b^2-a^2)/b, FO=(b^2-2a^2)/2b, FG=(b^2-2a^2)(b^2-a^2)/2a^2b (因为FG*FC=FO*FD),GC=b(3a^2-b^2)/2a^2, CE=a(b^2-2a^2)/(b^2-a^2),
BE=a^3/(b^2-a^2),
由梅涅劳斯定理，BD/DF*FG/GC*CE/BE=1 => b^4-3a^2*b^2+a^4=0 =>b=(sqrt(5)+1)/2 * a =>cos(ABD)=(sqrt(5)+1)/4 rainyttdd 发表于 2023-3-2 09:57
这个要来回倒角，要写出来，手机打字太麻烦
我没倒出来哈。 rainyttdd 发表于 2023-03-02 09:55
小孩上了初中开始做压轴题，跟着做就都想起来了，难点的题基本要证两次以上全等相似
高中基本没有纯平几的题，是立几和解析几何（圆锥曲线类）为主 FCE不用垂直条件根本证明不出来是等腰三角形，前面的想当然了 huhuyang2010 发表于 2023-03-02 10:39
高中基本没有纯平几的题，是立几和解析几何（圆锥曲线类）为主
相等的角，我都标了
pxf 发表于 2023-03-02 11:16
相等的角，我都标了
正解，不过应该是AEG和DCG全等 ，得出AE，AB，CD相等，等腰三角形得证 DZD 发表于 2023-03-02 11:12
FCE不用垂直条件根本证明不出来是等腰三角形，前面的想当然了
恩，老母亲功力不够，没用笔光看果然还是不行，中午笔做了下的确倒不出来，惭愧…等孩子有空让他做做看 huhuyang2010 发表于 2023-03-02 10:39
高中基本没有纯平几的题，是立几和解析几何（圆锥曲线类）为主
这不是为了中考嘛，平几做了又做 孩子回来反馈时间不够，做出前两问，后一问猜的36度（这个很好猜，一看这条垂直线就是角平分线，不然AFE三点不可能一线，如果是填空题就投机了），但是考的就是你的水平，证不出来。
辅助线没添出来，主要还是没利用到菱形对角线垂直，可惜了。
这次填空题都不难。 pxf 发表于 2023-03-02 11:16
相等的角，我都标了
多谢，还是要用垂直条件。反证法这个题看来是最简单的。 rainyttdd 发表于 2023-03-02 13:29
这不是为了中考嘛，平几做了又做
老母亲辛苦了https://app.qianfanedu.cn/public/emotion/face_019.png 填空题18题还是难的，有四个解，容易漏解
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