徐汇2023年数学一模最后一题

本帖最后由 huhuyang2010 于 2023-3-1 14:17 编辑

1）角BAF=角BFE-角ABD=角ABC-角ABD=角ABF=角ADB，显然相似
2）容易看出AF=BF=FC，case1 角AEC=90度，角ABC=60度；case2 角EFC=90度，角ABC=45度； case3 角FCE=90度，不行
3）角EFD=角ECD，设ED交FC与G，在GC上取GH=GF，可以推出H与C重合（反证法，如果不重合，导出角EFD与角ECD不等矛盾），FD=CD。
有1得，BC*BC=BF*BD，设BD=b, BC=a，a*a=(b-a)*b=>b/a=(sqrt(5)+1)/2，cosABD=(sqrt(5)+1)/4=cos36

FD=CD不知道还有没有更好的证法？

scholes · 发表于 2023-3-1 15:12

huhuyang2010 发表于 2023-3-1 14:04
1）角BAF=角BFE-角ABD=角ABC-角ABD=角ABF=角ADB，显然相似
2）容易看出AF=BF=FC，case1 角AEC=90度，角ABC ...

我是直接做第三问的。
这么看来，既然第二问就已经提示了要倒角，并且要利用AF=BF=CF的关系，
那第三问难度就很低了。

huhuyang2010 · 发表于 2023-3-1 18:12

scholes 发表于 2023-03-01 15:12
我是直接做第三问的。
这么看来，既然第二问就已经提示了要倒角，并且要利用AF=BF=CF的关系，
那第三问难度就很低了。

倒角怎么搞，愿闻其详

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rainyttdd · 发表于 2023-3-2 07:46

ABF和C B F全等，所以角B AE角BCF角DBC，所以FEC和BFC和BAD相似，所以FEC是等腰三角形，高平分EC，SAS三角形DFG和DCG全等，所以FDDC

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rainyttdd · 发表于 2023-3-2 07:49

rainyttdd 发表于 2023-03-02 07:46
ABF和C B F全等，所以角B AE角BCF角DBC，所以FEC和BFC和BAD相似，所以FEC是等腰三角形，高平分EC，SAS三角形DFG和DCG全等，所以FDDC

角B AE角BCF角DBC想等，等号没显示出来

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stiff · 发表于 2023-3-2 08:31

第三问做不出来，几何忘记的差不多了，特别是垂直关系不知道怎么利用。另外初中就要求求cos36了？我怎么感觉以前高中也不要求啊，是不是记错了。

huhuyang2010 · 发表于 2023-3-2 08:44

rainyttdd 发表于 2023-03-02 07:46
ABF和C B F全等，所以角B AE角BCF角DBC，所以FEC和BFC和BAD相似，所以FEC是等腰三角形，高平分EC，SAS三角形DFG和DCG全等，所以FDDC

逻辑有问题，FEC等腰没有垂直条件推导不出来

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rainyttdd · 发表于 2023-3-2 09:23

FEC和BFC和BAD相似，BAD是等腰三角形，FEC等腰

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karen_jeff · 发表于 2023-3-2 09:43

我也不太会

huhuyang2010 · 发表于 2023-3-2 09:52

rainyttdd 发表于 2023-3-2 09:23
FEC和BFC和BAD相似，BAD是等腰三角形，FEC等腰

FEC和BFC相似，没看出来，可以列一下比例式过程么？

rainyttdd · 发表于 2023-3-2 09:55

stiff 发表于 2023-03-02 08:31
第三问做不出来，几何忘记的差不多了，特别是垂直关系不知道怎么利用。另外初中就要求求cos36了？我怎么感觉以前高中也不要求啊，是不是记错了。

小孩上了初中开始做压轴题，跟着做就都想起来了，难点的题基本要证两次以上全等相似

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rainyttdd · 发表于 2023-3-2 09:57

huhuyang2010 发表于 2023-03-02 09:52
FEC和BFC相似，没看出来，可以列一下比例式过程么？

这个要来回倒角，要写出来，手机打字太麻烦

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huhuyang2010 · 发表于 2023-3-2 10:31

再提供一个不用反证法的思路。
FC交DE于G，AC交BD与O，设AB=a, BD=b，则
BF=AF=FC=a^2/b， DF=(b^2-a^2)/b, FO=(b^2-2a^2)/2b, FG=(b^2-2a^2)(b^2-a^2)/2a^2b (因为FG*FC=FO*FD),GC=b(3a^2-b^2)/2a^2, CE=a(b^2-2a^2)/(b^2-a^2),
BE=a^3/(b^2-a^2),
由梅涅劳斯定理，BD/DF*FG/GC*CE/BE=1 => b^4-3a^2*b^2+a^4=0 =>b=(sqrt(5)+1)/2 * a =>cos(ABD)=(sqrt(5)+1)/4