由于有某些事情要处理，在北京过了一天。当天上午把事情办完了，就和朋友K约了吃饭。K早就知道我要来，说他儿子对数学很有兴趣，要让我和他儿子聊聊。于是就有了下面这场神奇的经历。

K的儿子刚满六岁，还在念幼儿园大班。之前K跟我说，他儿子要问问我什么是微积分... 老实地说，被家长认为是天才儿童的孩子，我觉得也见得不少了。P大数学系一届接近两百人，怎么说也有三分之一小时候是 “别人家的孩子”，然而上了大学还是然并卵。退一步说，我小时候算数也还可以了，如果一个小孩子表现和我差不多，我也只会觉得他 “还可以” 吧。然而跟小朋友交流一下我还是愿意的。于是午饭的时候K把儿子从幼儿园接了出来，我们从午饭聊到了天黑，以下是一些简短的回忆。

之前K告诉过我他儿子知道有理数和无理数的区别，所以在饭桌上，我先问他为什么是无理数。答案并不让人满意（我也不惊讶）——他说因为这是 “” 废了几句口舌还是没法说服小朋友是一件需要证明的事情，对话中也知道了他知道 之类的事实，但对实数是无限小数这件事情还是缺乏足够的理解。

退而求其次，我决定还是问点一般的聪明小孩应该知道的，比如速算类的问题。第一个问题是计算的平方，他喃喃地说着 “一千六百减去两百三十一，所以答案是一千三百六十九” 得出了正确答案。. （语速非常慢）后来又问了几个两位数和三位数乘法。

饭桌上K问我小时候有什么牛逼的经历，我说我四岁的时候刚学开方能说出开方是. 但是这用来考他儿子显然不够，于是我们问他开方是多少，他一开始觉得这是个无理数，后来尝试计算了的平方（“等于一万四千一百多，所以不是”）和的平方，得出了正确答案. 正好跟杨辉三角有点关系，于是我拿出了纸笔引导他算, 做完展开之后，他算出了, 然后又试了, 展开之后算出来. 有趣的是小家伙看书已经知道了杨辉三角里的数是二项式展开的系数，但是并不知道每个系数对应哪一项（他展开的时候并不知道按降幂排列单项式），解释了一下他就明白了。

午饭后讲的内容我已经忘掉一些了。因为小家伙想知道什么是微积分，就写了个函数  让他求最大值。他 “知道”的时候函数值最大（之前看书知道的），在我的追问下也做出了的 “证明”。遗憾的是他在纸上写的是, 实际上右边的并不是左边那个而是某个别的量，但是我并没有苛求他写成. 我们尝试了计算和的数值，他能看出正好能用上平方差公式，这点很不错。

他 “知道”的时候有最大值，其实对我并不是好消息。在北美教微积分的时候习惯了用这类很平凡的例子，主要是出于对听众代数水平的无奈。于是我换了个函数，, 把目标定成了这个函数在上的最大值。我们通过这个函数迈向了微积分。我让他计算了, 并告诉他这里的系数就是的导数，记作. 他挺开心的。趁这个机会我讲了一下两个函数之和的导数是各自求导之和，又告诉了他单项式的一般情形，也就是那个.（但是并没有来得及解释导函数的正负和原函数增减性的关系，后来晚饭的时候才解释，最大值这块只是口头说了说。）

这时候小家伙问我积分是啥了。比较好玩的一件事情是，他有一个符号计算器，之前已经按上面的按钮知道微分和积分互为逆运算。我告诉他，的不定积分，就是一个导数是的函数，比如就是这样一个函数。也是这样的一个函数，更一般的，对于一个常数, 就是这样的一个函数。这时候小家伙很有意思地评论了一句，的积分就是任意一个不含的数，这句话让我觉得还蛮愉悦的。

然后小家伙问我，积分号上面下面都有数字是什么意思。显然他已经见过这个记号了，只是还没有人跟他解释。于是我解释了一下积分和面积的关系，以曲线下方的面积为例子，把原函数求出来，再做函数在上下限数值之差。这里的一个亮点是，小家伙评论道 “积分就像几何里的求和”（不过我觉得不能排除他在书上看过类似的话的可能性）。最后我举了个

的例子，试图蒙混过关讲个反常积分，但是我借这个机会展示了手机上 WolframAlpha 的 app, 输入了这个积分，还点了里面的 step by step 按钮…… 没想到 WolframAlpha 很诚实，给出的结果是这样的：

一开始想偷懒不想把反常积分的定义告诉小朋友。既然如此，我就跟他解释了一下极限的概念，并且解释了这个反常积分其实是定义成到的积分在的时候的极限。这部分由于我讲得多些，并且没有习题之类可操作的内容，不好说小朋友听懂了多少。

这时候他终于换了个话题，问我一元二次方程求根公式是凑出来的还是怎么来的，他说他把求根公式带入方程算了好久发现确实是根，于是我解释了一通怎么把一般的一元二次方程配成完全平方，然后再通过开方来解方程。他在我的引导下完成了一元二次方程求根公式的推导。他对结果表示满意。

终于他表示没有更多的问题了，让我给他出点问题。于是我抛出了一个我觉得会让小孩子懵逼的问题——

有没有一个整数的平方，除以的余数是?

正确答案是没有，但是我觉得这够小孩子忙活一阵了，一般跟小孩解释起来也比较费我的口舌。接下来的发展让我比较惊奇：

首先，他在纸上写下了. 我看了一眼，心里说，虽然这个方程解不出来，他起码还是理解了问题的。（后来我发觉他是不太愿意或者不会写复杂的汉字，因为我在纸上写 “是整数” 的时候他告诉我可以写成）。然后他在纸上画了一些方框和面积之类的 junk. 出乎我意料的是，他在比较短的时间内就把问题转化成了一个不定方程. 然后他思考了一段时间，我决定往正确的方向轻轻推一下，就问他，有没有可能是的倍数啊？他想了想说，不行，因为左边是的倍数，右边不是。然后我选择了沉默，准备让他在懵逼的海洋里再漂一会儿（我不是第一次讲这类内容，一般第一次接触这类问题的听众都会懵一阵），然而他没有！我惊讶地看着他一边写一边奶声奶气地说，如果除以余, 那么, 这时候有然后他还是卡住了，但是并没有懵，一直在草稿纸上探索。草稿纸如下：

（请原谅小朋友狗扒式的书写。中间他还提到是的一个解，我不得不提醒他，要在整数里解这个方程。）看到他已经离真相很接近，我还是稍微指点了他一下，他已经给出了, 于是我问他，左边是整数吗，右边呢？他迅速找出了矛盾，并且用同样的方法处理了的情形。我的心里是欢喜而震惊的。（后来我让他换成了常见的两边除以三余数不相等的说法）

然后我又问了他，有没有一个整数的平方除以的余数是? 这次他聪明多了，直接上手分成四个情形， 一通狂算否定了这种可能性。（其实对按奇偶性讨论，也就是分成两种情形就够了，但我没拦着他）

这时候他竟然做出了个猜测，是不是平方数除以的余数一定不能是呢？我说，那有没有一个数的平方，除以的余数是呢？经过思考他意识到答案是有，也就是猜错了。但是思考这个的时候他得出了个简单的判别法，也就是说如果（对任意的）都不是完全平方数，那么平方数除以的余数就不能是. 这是很平凡的，但能观察到还是有点趣味：从这个结论出发，可以得到对于, 都存在平方数除以的余数是：因为. （我慢慢地把余数的概念从换成了, 反正是等价的，他也能接受。）为了挑战他这个判别法，我提出了的情形，这种情形，符合条件的完全平方数也是存在的，但运用那个判别法稍微需要些耐心：. 在我的引导下他也做到了。

这时候我教他简化了前面的计算方法：和不用分开算，只要写成再算就可以。另外除以的余数能不能是那个问题，按照奇偶性讨论即可。这时候我再提出的情形，有没有一个整数的平方除以余数是, 他已经轻车熟路了，直接讨论四种情形。然后我又让他计算了的情况。

扔了一路的面包屑，还帮他把结论都写了下来（对于存在这样的完全平方，对于不存在）并且告诉他我们暂时只讨论是素数的情形。这时候他终于提出了正确的猜测：

如果是素数且除以的余数是, 那么不存在完全平方数除以的余数是.

我想这个问题够他想一阵了。不知道他能不能想出原根（的生成元）的概念，想到了这个问题就不难。

晚饭时间到了，上面的讨论告一段落。去吃晚饭的路上，跟他聊了聊高斯整数, 并且让他做高斯整数里的素因子分解。他也得出了一个比较初步的判别法：要是高斯整数里的素数的话，必须是原来那种素数（也就是整数环里的素数），且不能表示成两个平方数之和。（中间他尝试用来说明“不是” 高斯整数里的素数，于是我补充了个定义）后来我告诉了他只有型的素数在高斯整数里还是素数这个结论。这时候我们走到餐馆了。

晚饭的时候还聊了些东西，但是比较零碎，不整理了。午饭和晚饭期间他一直在问我怎么算。晚饭的时候借助欧拉公式我口头告诉他答案是（也可以用这个结论，但那又要引入新的记号了)。一个比较亮的亮点是我们聊起结合律分配律之类的，他评论了一句 “除法对减法满足分配律”。我真是好想拍大腿，这么平凡的东西真应该成为每个抽象代数书上的例子啊！（注：有人指出，应该是除法对减法满足右分配律。这个确实是我疏忽了，餐桌上聊天想得不太仔细。）

晚饭后我就收拾东西准备打车去机场了。回去的路上他问了一句积分的上下限能不能是复数，我和K都愣了一下，告诉他这种时候要选取一条复平面上的路径才能定义积分。我跟K说，要跟他解释什么是复平面上的单连通区域么？（其实这时候我脑子里闪过一堆东西，因为即使是单连通区域，如果不是全纯函数或者存在势函数的二元函数，积分的值还是会依赖于路径。）K说，可能过一阵就学到留数定理了吧，我笑而不语。好在这时候小朋友的注意力终于有点分散了，并没有过于纠结。

这时候已经晚上七点多了，从一点开始，一个六岁的小朋友，竟然毫不疲倦地跟我聊了六个小时的数学，我心里也是很服气的。等车的时候小朋友终于问了点数学之外的内容（这次他问的是... “什么是洗钱”，难道我长得很像干这个的吗(⊙v⊙)）。

去机场的路上和飞机上我想了很多。K的儿子目前是散养的（否则也不至于满六岁了还在幼儿园...），没有经过什么系统的培训，但是看了很多乱七八糟的科普书。K担心这么下去小孩子只知道一堆名词，学废了，才约我和他对话。K的老婆也知道儿子聪明，让K制定个奥数培养方案，这让K很为难。我建议K可以试着给小孩讲讲大学数学系前两年的内容，反正技能树摆在那，照着技能树点就可以了。

K之前的做法也有一定问题，就是把儿子当成啥的不会的小孩，试图讲得 “浅显直观”，反倒没法讲清楚（比如无穷小量类似于 “的次方” 这种屁话，真是让我心里一万头动物呼啸而过，果然是学物理的！）。还不如基于二元一次或者三元一次方程组，给小孩讲讲线性代数。

我也挺想再给小朋友上几次课的。如果各方面条件允许的话，我可能会希望能在他小学毕业前告诉他有限域上代数曲线的韦依猜想及其证明吧。没准小朋友过七八年就能参加 REU 了。

最后发个广告:

如果有身在北京的学纯数的朋友，看到这个文章，想跟小朋友聊聊天或者给小朋友上上课的话，请私信联系我，K同学有报酬。

本科生研究生教授都行。最好能和小朋友心平气和地交流一下，别干围观奇葩这类事情。

（这个广告是希望找人去教K的儿子，不是说我要给人上课，我平时也不在北京，谢谢）