番外篇1 尴尬的难题
从今年IMO的题目统计数据来看，第三题只有15个人基本做对（至少5分），因此第三题是一道难题，果真如此吗？
其实不然。
仔细分析一下题目，真的除了吓人之外难度并不是很大，并不属于那种死难死难的题。
这个题几何方面，托勒密定理，海伦公式和S=abc/4R知道两个基本就能下来；数论方面则只要知道化成素数幂和“一颗老鼠屎坏一锅汤”的结论（即若干个数中恰有一个数所含素因子p的幂次最低，则这些数的和所含素因子p的幂次等于这个最低的幂次）肯定能做。
看看几年前的题要到什么难度才能得出这样的数据吧：04年的第三题组合，大坑题，至少没有那么显然；08年的第六题几何，一个呵呵哒的题，画图画半天；12年的第三题组合，骗人游戏，慢慢折腾吧；13年的第六题组合数论，即便猜出要用归纳也不是那么容易的。当然，同时也要重视前面题目的阻击性，可是看起来今年前两题并没有那么狠。
再看看15个基本做对的人有10个集中在前三强的国家，其实能猜到大概为什么了。
没错，稍微弱一点的队伍，学生做第三第六题的欲望和动机在慢慢变小。
前面我也说过IMO投题的过程，大家都喜欢选难题做36，长此以往，那些并不是很强（5-20名）的队伍就会想办法应对，应对的办法也很简单，只做1245，确认无误再稍微做做36。
别小看1245，近年来，全部人只做好1245在所有年份都可以拿到前十，部分年份可以拿到前五甚至前三。对于队员个体？多少29,28的金牌线，金牌根本毫无压力。
有的领队吐槽：“我们的学生已经不想做36了。”
所以，今年的3不是个难题，仅仅是大多数人不想做而已。
所以，在IMO上的36需要适当降降难度，多让大家参与。
IMO如此，国内也如此。
女子西部每天3个题可以拿到奖励，冬令营每天2个题可以进集训队，集训队每天2个题到大考爆发就能进国家队。
长此以往，大家都不会去做难题了。包括训练的时候，应该做3个题的时间只用来做前2个，全在舒适区，一点刻意训练都没有。
所以我们也需要一届分数线是105分左右的女子西部或者冬令营，让大家重新重视难题。
同学们在训练的时候也经常会遇到这个情况，做完容易题，时间到了，于是难题就不做了。其实这样很不好，好的方式是考试结束之后花时间继续想难题（或者吃个饭睡个觉之后继续），而不是白白浪费一道难题的训练机会。
毕竟，到达一定水平之后，做难题才是提升你能力的最快途径。
番外篇2 骗人的答案
题目答案是什么？
题目答案不是思路，题目答案不是解释，题目答案只是“我告诉你这么做能做对这道题”。
这也就是我为什么说，背答案是庸师的表现。
有的老师和同学喜欢用答案的长短来判断题目的难度，这在大部分场合都是有效的，但也有很多反例。我这里举两个例子，先来看下面这道题。
file:///C:/Users/zhang/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.jpg
这道题的解答特别长，看起来似乎是一道难题。但实际上呢？解答后面的所有部分都是在证①，由于出现了大量讨论，显得解答很长，但是讨论的技术含量远低于前面下结论的部分。
再来看一道题。
file:///C:/Users/zhang/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.jpg 这道题的解答非常言简意赅，只有区区几行字，似乎是一道容易题。但是实际练习中，不会做这道题的同学远远多于不会做上一道题的。
其实来仔细分析一下就明白了。第一道题在尝试的时候很容易发现“偶奇奇偶奇奇”是一个永远无法移动到全0的状态，于是立即得到所有不小于4的偶数都不可以，然后只需要在操作中躲开这个状态（当然还有全偶数的状态，无法控制），剩下的就是一步一步递归就行了，反正最大数是只会减少不会增加的，怎么弄都行。
相反地，第二道题，归纳并不是一个很显然的点子，因为多一个数的时候事情会变得特别复杂。或许能想到最大的数比所有其它数之和都大的时候可以归纳，但是其余情况会很乱。另外k的选取也特别有讲究，直接一步到位。在实际练习中，很多学生都尝试使用其它做法，然后说理很难说清楚，总有重复和遗漏。只有在最大的数比所有其它数之和小的时候继续考虑次大的数，才会慢慢向这个归纳靠拢。可以看到，这个问题的解答是思考过程的凝练，直接使用极端原理构造k，省去了一次递推，后面也基本没有废话，才使得解答如此短。
这就是答案的骗人之处。
因此，我们看解答的时候，要先理解它的做法，然后多问自己几个为什么。
数学竞赛题目的难度不在于解答长短，这里简而言之，是在于点子难以想到或者难以实现（并不完全准确，还有很多其它因素）。
比如，上面两个问题我们都问过为什么了之后，就会发现第二道题里面的归纳是不自然的，然后顺下去发现第二道题要难于第一道题。
对于学生来说，即便看答案，也要在充分思考后再看答案。答案的哪一步你没有想到，你就可以问问自己是为什么没想到，是因为知识不够牢固，工具不够如臂使指，还是因为题目本身就很难想到这一步。
对于老师来说，要求就更高了，老师可是没时间做题的。老师必须在看答案的过程中发现答案中的不自然之处，然后试图解释这种不自然之处的动机，并引导学生做题时向这种不自然之处去努力。
很多题目，答案的入手点很难想到，这种题目的解答基本只有前几句话是精髓。例如2007年IMO第6题，看解答只要看第一句话（顺带一提，那年不知道有意无意，4,5题分别是几何和数论，没有组合，于是6还有组合的可能性，而且6的二维的情况是一个小学题目，估计会更加坚定考生用组合做的信念）。同样的问题还出现在2009年国家队选拔考试第6题，那个题怎么取模都没用，必须扔掉较小的数，考虑较大的数，才能得出矛盾。
也有些题目的结论难猜，例如2010年IMO第5题，看答案是一个初中级别的题目，但是那个题问的却是“是否”！相信如果题目改成证明存在，做出此题的人起码要多出一两倍。2016年IMO第2题也与此类似。与此相似，有的时候答案会直接猜到一些极值，但实际上是要做很多尝试才能得到那个值，然后进行论证。
看了答案之后，需要提炼答案的精髓，而不是全篇照抄。所谓重剑无锋，大巧不工，很多时候答案的精髓不在于美轮美奂的变形，不在于高级的定理，而仅仅在于一次“不妨设”，一次“考虑……”或者一次“假设……”，上面第二个例题就是一个例子，后面的连续不等式只是末流的炫技而已，前面的归纳才是精髓。
看答案可以，但要多问问题；看答案没错，但要提炼精髓收为己用；看答案正常，但要理解为什么要这样做。
我真心希望我们未来的数学竞赛书籍的题目都有长长的分析，而不是干巴巴的答案。
当然，对于每个同学和每位老师来说，从答案中不应该仅仅明白这道题怎么做，而是应该看得更远。
(回帖: 最后这篇东西讲了一个非常有用的道理：就是你读书为何要找个牛逼的老师。如果看一本书能连贯看懂逻辑，但相当多的时候还是对背景不甚了了。其实是作者本身也没义务让你彻底了解他的思路，如果写思路以及真实的试错过程。你看的每一篇高质量的论文背后也许是几公斤重的废纸，这就不得了了，做不到。因此跟写书的，出题的讨论，可以迅速找到问题的本源，然后深入研究进去。如果你发现出题的，无非是拿些结论变形，改头换面，那就表明，他只是为考学生而出题了。好的题目难得，好的老师不好找。)
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发表于 2018-9-19 11:11
楼主
发表于 2018-9-19 12:28
;P;P