理科学霸解因式分解

用matlab分了一下，
>>syms x y
>> factor(x^8+98*x^4*y^4+y^8)
ans =
[ x^4 - 4*x^3*y + 8*x^2*y^2 + 4*x*y^3 + y^4, x^4 + 4*x^3*y + 8*x^2*y^2 - 4*x*y^3 + y^4]

x^8+98*x^4*y^4+y^8 = (x^4 - 4*x^3*y + 8*x^2*y^2 + 4*x*y^3 + y^4)*( x^4 + 4*x^3*y + 8*x^2*y^2 - 4*x*y^3 + y^4)
可以倒推一下中间步骤了

bluemale7502 · 发表于 2019-8-16 16:08

以X为主元十字相乘法

Jerry2007 · 发表于 2019-8-16 16:08

Fortran 发表于 2019-08-16 14:04
谢谢，
我家买的是老版本的，没见过这题
估计是新版的才收进去了。
老版本本论坛有电子版下载
http://www.qianfanedu.cn/thread-136944-1-1.html

新版有这道题，解答很详细。不过这题，好像没啥套路可循。

来自苹果APP客户端

scholes · 发表于 2019-8-16 17:59

Fortran 发表于 2019-08-15 21:57
这是常规题，
有一道2年前的网红题,楼主不妨试试
因式分解
X^8+98X^4Y^4+Y^8

太难了，这题看奥精的解答，就是硬凑出来的

来自安卓APP客户端

scholes · 发表于 2019-8-16 18:15

Jerry2007 发表于 2019-08-16 08:53
本帖最后由 Jerry2007 于 2019-8-16 09:02 编辑

11楼的题目最难，奥精中，我做了很久也没解出来，次数太高，也没法用待定系数暴力解

正常做的话，基本凑不出来的，
只能用待定系数法暴力解。
由于题目是对称式，又很容易看出不可能有一次项的因式，所以只能是二次项和六次项的乘积，或者是三次项和五次项，以及四次项和四次项的积，然后分别用待定系数法解。。。。。。

来自安卓APP客户端

xtt77 · 发表于 2019-8-16 18:45

说简单的，是看错题了吧，换元然后完全平方公式得出的中间不是1+Y^2，是1-Y^2

来自安卓APP客户端

Jerry2007 · 发表于 2019-8-16 19:12

scholes 发表于 2019-08-16 18:15
正常做的话，基本凑不出来的，
只能用待定系数法暴力解。
由于题目是对称式，又很容易看出不可能有一次项的因式，所以只能是二次项和六次项的乘积，或者是三次项和五次项，以及四次项和四次项的积，然后分别用待定系数法解。。。。。。

五次，六次太暴力了

来自苹果APP客户端

Sxybxjxy · 发表于 2019-8-16 19:24

晕，凑的是64和32，我一直在考虑的是100-4，因为两个正好都是平方数，纸写了一堆，脑壳疼，半夜睡的，还是无解…………

来自苹果APP客户端

xxhh · 发表于 2019-8-16 23:25

有一个思路，原式中x^8,y^8,x^4y^4这3项都大于等于0，所以原式=0的解只能是x=y=0，因式分解后解必需一样，所以每个因式只能是平方和的样子，[x^2A(x,y)^2+y^2B(x,y)^2] [x^2C(x,y)^2+y^2D(x,y)^2]，再根据对称性和原式，容易猜测出A，C为x+yf(x), x-yf(x)，BD也类似，带入计算后发现f(x)只能是常数正负2，[x^2(x+2y)^2+y^2 (y-2x)^2 ] [x^2 (x-2y)^2 +y^2 (y+2x)^2]

来自苹果APP客户端

蓝色晴空 · 发表于 2019-8-17 00:06

完全不会了

Jerry2007 · 发表于 2019-8-17 09:59

xxhh 发表于 2019-08-16 23:25
有一个思路，原式中x^8,y^8,x^4y^4这3项都大于等于0，所以原式=0的解只能是x=y=0，因式分解后解必需一样，所以每个因式只能是平方和的样子，[x^2A(x,y)^2+y^2B(x,y)^2] [x^2C(x,y)^2+y^2D(x,y)^2]，再根据对称性和原式，容易猜测出A，C为x+yf(x), x-yf(x)，BD也类似，带入计算后发现f(x)只能是常数正负2，[x^2(x+2y)^2+y^2 (y-2x)^2 ] [x^2 (x-2y)^2 +y^2 (y+2x)^2]

来自苹果APP客户端

不羁的风2017 · 发表于 2019-8-17 17:35

这个一看就是凑平方差啊，
令：
a=X^4+Y^4
b=X^2*Y^2

原式
=a^2 + 96*b^2
= a^2 + 64*b^2 + 16ab + 32*b^2 - 16ab
=(a+8b)^2 + 32*b^2 - 16ab
=(a+8b)^2 - 16*b（a - 2b）

Sxybxjxy · 发表于 2019-8-17 17:37

不羁的风2017 发表于 2019-08-17 17:35
这个一看就是凑平方差啊，
令：
a=X^4+Y^4
b=X^2*Y^2

原式
=a^2 + 96*b^2
= a^2 + 64*b^2 + 16ab + 32*b^2 - 16ab
=(a+8b)^2 + 32*b^2 - 16ab
=(a+8b)^2 - 16*b（a - 2b）

厉害，很清晰……

来自苹果APP客户端

不羁的风2017 · 发表于 2019-8-17 18:02

Sxybxjxy 发表于 2019-8-17 17:37
厉害，很清晰……

暑假刚刷完因式分解小蓝皮，
我趁机补了补课

当年的学霸表示以前没学那么难啊

知道不知道 · 发表于 2019-8-17 21:15

先提个x^4y^4出来，原式变成（x/y）^4+98+（y/x）^4，注意到首尾2项相乘会是1，令x/y - y/x = a, 或x/y + y/x =a，代入。此题用 - 号，得x^4y^4（a^4+4a^2+100），再等于x^4y^4（（a^2+10）^2 - 16a^2），然后平方差，再把a换回来，x^4y^4乘进去，结束。

scholes · 发表于 2019-8-18 10:41

知道不知道发表于 2019-08-17 21:15
先提个x^4y^4出来，原式变成（x/y）^4+98+（y/x）^4，注意到首尾2项相乘会是1，令x/y - y/x = a, 或x/y + y/x =a，代入。此题用 - 号，得x^4y^4（a^4+4a^2+100），再等于x^4y^4（（a^2+10）^2 - 16a^2），然后平方差，再把a换回来，x^4y^4乘进去，结束。

赞赞赞！！！！！
这应该是正解了，比奥精书附的标准答案靠谱多了，
高手！！！

来自安卓APP客户端

scholes · 发表于 2019-8-18 10:51

不羁的风2017 发表于 2019-08-17 17:35
这个一看就是凑平方差啊，
令：
a=X^4+Y^4
b=X^2*Y^2

原式
=a^2 + 96*b^2
= a^2 + 64*b^2 + 16ab + 32*b^2 - 16ab
=(a+8b)^2 + 32*b^2 - 16ab
=(a+8b)^2 - 16*b（a - 2b）

厉害了，
只是技巧略高了点。
还是楼下的知道不知道的做法比较正规

来自安卓APP客户端

秘书长 · 发表于 2019-8-19 21:32

八仙过海，各显神通啊!

来自安卓APP客户端

[初中数学] 理科学霸解因式分解

本帖子中包含更多资源

本帖子中包含更多资源

点评

本帖子中包含更多资源