请教市北理9年级周测中的一道代数题

一麻麻

已知实数a、b、c满足0<a<2,0<b<2,0<c<2,
求证：a(2-b)+b(2-c)+c(2-a) < 4


请教大神这道题怎么证明？

xgmlovebee

唉，居然不会初三的题。
要重新学习一次，为了孩子辅导

davidli

构造边长为2的等边三角形，每条边分别截为a,2-a b,2-b c,2-c，利用面积关系建立不等式

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lwangchn

我同学做出来了

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老吴88888

先用换元法化简命题就好做了：
令A=a-1,B=b-1,C=c-1,
原命题变为A,B,C绝对值小于1时，AB+BC+AC+1>0
令F(A)=(B+C)A+BC+1
因F(1)>0,F(-1)>0,因F(A)图像是直线，所以F(A)>0

所以原命题得证。

天天想你2000

老吴88888 发表于 2021-4-21 17:50
先用换元法化简命题就好做了：
令A=a-1,B=b-1,C=c-1,
原命题变为A,B,C绝对值小于1时，AB+BC+AC+1>0

这个证明显然有问题，F(-1)>0的理由并不充分，而且端点>0也不能得出区间内的值>0,除非加上单调性，这不是一句图像为直线就能糊弄过去的。

云泽汇

甘博士 发表于 2021-04-22 16:39
这其实是个一元一次不等式，
abc随便选取一个当做主元，比如选a作为主元，
原式左边可以写成 f(a) = a(2-b-c) + (2b+2c-bc)，

(1) 当 a的系数（2-b-c）&gt; 0时，f(a)是个单调递增的一次函数，
所以f（a）&lt; 2(2-b-c) + (2b+2c-bc)&nbsp;&nbsp;= 4-bc &lt; 4
(2) 当 a的系数（2-b-c）= 0时， f(a) = 4-bc &lt; 4
(3) 当 a的系数（2-b-c）&lt; 0时，f(a)是个单调递减的一次函数，
所以f（a）&lt; 0 + (2b+2c-bc)&nbsp;&nbsp;= b(2-c) + 2c&nbsp;&nbsp;&lt; 2(2-c)+2c = 4

你这个还是想复杂了。不用区分a的系数大于0小于0把左边移到右边构造f(a)，因为f(0)，f(2)均大于0，a在0 2区间f(a)必大于0，不等式成立。

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天天想你2000

好像还没看到比较严谨不超纲的证法。

craneyang

大家都好厉害啊，初三数学还懂呢

老吴88888

天天想你2000 发表于 2021-4-22 16:14
这个证明显然有问题，F(-1)>0的理由并不充分，而且端点>0也不能得出区间内的值>0,除非加上单调性，这不是 ...

此证明只写了关键步骤，绝不是糊弄。
你的两个问题：
1.F(-1)=-(B+C)+BC+1=(1-B)(1-C)>0
2.一条线段两个端点都在X轴上方，这条线段上所有的点都在X轴上方，这是显而易见的。说图像是一条直线实际就是这个意思。

老吴88888

云泽汇 发表于 2021-4-22 17:18
你这个还是想复杂了。不用区分a的系数大于0小于0把左边移到右边构造f(a)，因为f(0)，f(2)均大于0，a在0 2 ...

对，不需要分类。

天天想你2000

受前面画图的启发，想到一个证法
1,当a<=2-c时，原式=a(2-b)+b(2-c)+c(2-a)<=(2-c)(2-b)+b(2-c)+c(2-a)=4-ac<4
2,当a>=2-c时，原式=a(2-b)+b(2-c)+c(2-a)<=a(2-b)+ab+c(2-a)<2a+2(2-a)=4

HeartBeat

甘博士 发表于 2021-04-22 16:39
这其实是个一元一次不等式，
abc随便选取一个当做主元，比如选a作为主元，
原式左边可以写成 f(a) = a(2-b-c) + (2b+2c-bc)，

(1) 当 a的系数（2-b-c）&gt; 0时，f(a)是个单调递增的一次函数，
所以f（a）&lt; 2(2-b-c) + (2b+2c-bc)&nbsp;&nbsp;= 4-bc &lt; 4
(2) 当 a的系数（2-b-c）= 0时， f(a) = 4-bc &lt; 4
(3) 当 a的系数（2-b-c）&lt; 0时，f(a)是个单调递减的一次函数，
所以f（a）&lt; 0 + (2b+2c-bc)&nbsp;&nbsp;= b(2-c) + 2c&nbsp;&nbsp;&lt; 2(2-c)+2c = 4

厉害了博士，刷题有一套

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