和数学爱好者交流

隔几天上来，就看到有网友说我是做广告的，遇到这样的我一般就是呵呵。
其实换个思路想，也对，我也是卖“大力丸”，只不过这个大力丸比较特殊，名字叫数学思维。

说一下数学思维和怎么建立或者叫培养数学思维，和不少家长聊过这个话题，下面只是个人看法和大家讨论，因为所谓数学思维也没有标准定义。
　　在讨论数学思维是什么之前，先说个人认为它不是什么，这点很重要。数学思维不是说让孩子计算不出错或者能够细心沉稳这类的方法。是有让孩子减少错误的方法，但是那个并不是数学思维。记得之前就有个六年级家长说让我培养孩子数学思维，减少马虎出错，争取期末考试拿到好成绩；我一听就意识到 “数学思维”被家长理解成了灵丹妙药，似乎数学上的所有问题都是因为没有数学思维。（其实家长就是要分数，说数学思维不过是想好听点）
　　如果家长心目中的数学思维是用来在克服马虎，短期提高数学成绩的，下面说的就没有必要看了，确实讨论的不是一个东西。
　　个人认为，数学思维是一种思考方法，并不分男女。说一般女孩数学思维比男孩差（平均意义上），并不确切但是也有一定道理（后边会解释）。拿初中来说，这是形成数学思维最关键的阶段，初中开始真正意义上的数学，有函数，坐标系这些东西了。
　　有家长问过一个很有意思的问题，老师在课堂上讲题到底都讲的是什么呀？我问过三个孩子（同样课堂上必将的内容），结论是老师讲的是解题方法，不是思考方法。用简单的话说，是做法，不是想法。想法是在做法之前发生的。（待续）

老师在课堂上也会说想法或者叫思路，但是很少提及这个想法是怎么来的，反正按照这个思路能把题目做出来就ok了。好的老师会经常会讲一题多解，这个一题多解实际上就是数学思维的产物，举一反三也是数学思维的反映。
　　数学思维实际上就是面对一个问题时，脑子里先去想不同的可能的解决办法，然后评估，最后选一个最优的解法来实施。这里的评估即包括可能的办法最后能不能走通，也包括它的计算量会不会大的惊人。
　　多数学生是看见题目上来就一猛子扎进去了。

　　用XRS的课举例，比如把几何题分成各种类型（或者叫模型），每个类型都有自己的公式化解法，做题的时候，比如这个形状是手拉手，那孩子就用对应的解法，这就是大家通常说的套路，见多识广，其实是一种对提升成绩有效的方法，分类就是一种方法，不是思维。我想说的是这种分类的方法和数学思维并不矛盾，比如我看出这个题可以用手拉手模型来解答，那么这个题有没有可能用别的模型？比如这个题是求AB长，用手拉手全等可以求出来，题目里CD是AB的一半，CD用蝴蝶模型也同样能够求出来，甚至题目里没有AB的一半，我也可以做出AE是AB的一半，然后用蝴蝶模型把AE求出来；我的这种用不同模型去解题的想法就是数学思维，当然最后我可能还是用手拉手模型，因为它最省事，不用那么多辅助线。

　　数学思维远远不止用不同模型解题，最经典的数学思维就是数形结合的想法，比如看见上面的几何题求AB长，把它当作解析几何，设坐标列出直线方程来算出AB，在很多图形复杂的场合，愣算反而简单直接。
　　在初中阶段，每一个整式都有它对应的函数曲线，代数和几何本质就是一个**的两面，是一回事，如果没有建立这个思想就谈不上数学思维。很多代数类的题目都可以通过图形的思考来解答，就拿我问过的一个题为例， x^2+15x + 32是完全平方整数，求 x 的正整数解，不少课堂上老师讲过类似的题目，设它是(x+7)的平方，然后解方程就把x 求出来了。
　　实际上完全平方就是一个正方形的面积（边长是整数），(x+7)(x+8)就是一个长方形，学过因式分解就可以想到它和问题中的完全平方数（正方形面积）是固定差异（x的项都被消掉了），(x+7)(x+8)这个长方形比（x+7)为边长的正方形面积大了（x+7)，就得出 x+7=24。假如题目变成 x^2+15x + 70是完全平方数，那么那个固定差异就是56-70=-14， (x+7)(x+8)这个长方形比（x+8)为边长的正方形面积小了（x+8)，一样的得出x，不用猜它到底是(x+7)的平方还是（x+8)的平方。
　　绝大多数学生根本不会往面积上去想这个题，这不就成为几何题了。

培养数学思维，第一步（个人认为最难的）就是除了摆在眼前的，问自己有没有别的路，别的可能性？多数孩子压根就没想过，很多人觉得这不是浪费时间嘛。
　　脑子里想了别的可能性，但是觉得此路不通，还是回到明面上的路，解题的做法和前者一样，但是思维已然不同了。养成这样的习惯，会有很大益处，比如做选择题，排除法往往比计算出结果，然后看哪个是正确答案要快很多。
继续数学思维的话题，现在说怎样培养（或者叫提高）数学思维，这个也是因人而异的，男孩和女孩在具体方法是会有些区别。

　　刚好有涯友交流看法，我一起在这里回复，这个也是关于怎样培养数学思维的问题
　　“数学也跟语文的积累一样，得见多类型的题，用不同的方法去解答，储备多了，就会有下意识的分析整合。。。。。”

　　个人认为，数学和语文确实在这一点上不一样，见多的题型很多，各种方法都了解，储备很足，但是不一定会有下意识的分析整合，所谓的分析整合并不是在见多识广之后自动产生，这样的例子很多，我问一个孩子知道直角三角形三个顶点在一个圆上，圆心在斜边的中点，孩子说知道呀，还做过好几个元和三角形的题目；可是在解一个题目里出现直角三角形可没有圆，孩子就没有想到有这么一个圆，只有当被问到时她才意识到这个圆的存在并且能够被利用。绝大部分的情况是，当我问到一个东西时，孩子都知道，他都见过类似的题型，问题就是想不起来用。单一的点不会自动的串联起来，意识到不同知识点的内在联系并不是靠知识点的积累就可以实现，不是说不需要积累，我是说有积累不够，需要深度的思考才能发现其内在联系，然后才能做到把它们用一根根的线串联起来。所以单靠刷题是不能培养数学思维的。

接着说女孩和男孩的区别，在小学六年级，统计上看，确实是女孩子成绩好的占多数，包括数学，有很多帖子分析过原因，个人最推崇图腾老师的分析见解，恰恰是这个早期的所谓优秀往往成为之后继续前进的障碍，就是特指数学；别的科目比如双语，这个优势经常会持续到高三。一个找我的家长，女孩从小就是学霸，高中进了四中除了数学别的科都特好（当然女孩没选物理），这类从小就有良好学习习惯，内驱力也不是问题，知道努力刻苦不沉溺于游戏，几乎完美，可就是数学上不去（当然也不是特差，110--120），这样的在女孩子中不是一个两个。
　　女孩子成熟的早，同时意味着思考方法定型的也早，习惯也形成的早；男孩子成熟的晚，同时意味着可塑性强，保留了各种变化的巨大可能性。个人认为是因为成绩和心智成熟度的区别，比如小学六年级的时候，导致二者在初中阶段，数学的发展上会有很大的差异。
　　想想六年级数学取得好成绩需要什么？不需要数学思维，第一需要的是细心，别算错数就是拿高分的保证，其二就是那些所谓题型，追击问题，相遇问题，甲乙施工队合作，几何题就是各种阴影面积，蝴蝶模型等等。。。。把这些都刷一遍，考试照猫画虎就足够了。
　　所以女孩子（包括家长）就会认为自己这个方法很有效，同时这个方法就会被自我强化，形成一个基本没法改变的习惯，比如看见题就想这个是哪一个题型好去套。
　　这是一个常见的现象，这个题我能做出来就说明我没有问题，没有任何需要改进的地方。男孩子由于经常伴随着的各种错误，反而很少有这种很强的心理暗示，换句话说，寻求变化的动力还在，数学思维实际上就是一种永远寻求变化的思维。

用数学的方式描述数学思维，它是深度，整体的数学能力是三维的，体积大才表示能力强。那些数学知识点只是一个平面，找到知识点的漏洞把它补上，还有多刷题这些都是增加面积，换句话说就还是一张饼只不过大了一号，充其量比别人大10%，可是深度上的差距很容易就是两倍之上。
　　这就如同我们观察一个东西，只能看到一个面积的大小，深度是看不见的，只有转到不同的角度后才能观察到深度的不同。

Fortran · 发表于 2021-12-30 12:08

柚子茶发表于 2021-12-22 23:38
请问申大神是哪位？求指路，谢谢！

申强，
几年以前在JZB吐槽四大杯赛出题的人
考1001的分解质因数可以理解。
考10001的分解质因数不能原谅。

Fortran · 发表于 2021-12-30 12:25

本帖最后由 Fortran 于 2021-12-30 13:54 编辑

我来打几个广告，数学解题爱好者可以关注一下
1. 单谈数学
这个公众号的作者单墫，是国内数学竞赛的老前辈
平生不识单墫纵称数竞也枉然。
这个公众号很奇怪，既有非常容易的题目也有很难的。
容易的题目是他(为)孙子写的，难的是他自己写的(真的是手写的)。

2.申城中高考数学
这个公众号其实也没别的，全是上海各初中高中的期中期末数学考试卷。
和家长对过几次，是真题。

3.好玩的数学
这个公众号我关注好几年了，每日打卡做题是主要特色，坚持了5年很不容易。

4.中考数学一题一渔
作者是广东的数学老师，经常写一些教学中典型题目和感悟。
题目难度是课内难度。

5.许康华竞赛优学
作者感觉是数学竞赛教练，专门讲数学竞赛的，真正的硬核数学竞赛。
高联赛难度的题目，推文作者都是竞赛教练级别的。

6.理科班数学
作者是上海某初中理科班老师，偏重于初中(四校)自招难度。

7.无忧公主的数学时间
8.Ricky的奇思妙想
这2个公众号比较类似，我放在一起说，这是上海的2个竞赛生自己开的公众号,
2017-2018年期间，大概刚进初中，学有余力，有不少初中数学竞赛难度题，
后来因为进入高中学业压力增加了，这几年已经没有更新。

以上各种难度都有，喜欢数学可以去交流。

Fortran · 发表于 2021-12-30 14:01

民间有许多非数学专业的数学爱好者，
纯兴趣喜欢做各种数学难题，
也有各种数学交流群。
我本人也算半桶水的爱好者。
10年前也希望孩子也能学一些数学课外的东西。
也买了不少书。
可惜孩子兴趣不在此。

数学爱好者YYP · 发表于 2022-1-9 18:21

看来我是来错地方了，我更愿意交流的是关于数学学习方法上的东西，是为了让孩子能够学好数学，而不是我做出谁谁给出的难题（估计多数人认为这样才算厉害）。

jbean · 发表于 2022-1-10 07:49

数学爱好者YYP 发表于 2021-12-29 16:40
隔几天上来，就看到有网友说我是做广告的，遇到这样的我一般就是呵呵。
其实换个思路想，也对，我也是卖“ ...

难道这不是广告？

你是来错地方了，想补课的自己都去找地方了。
不想补课的你吹得天花乱坠也没人听。

交流嘛就交流好了，好好说话就行。

我教了什么什么的，我学生家长什么什么的，看看我出的题，不是广告是什么？

jbean · 发表于 2022-1-10 07:52

数学爱好者YYP 发表于 2021-12-23 21:58
这是一个内切圆和三角形的几何题，对于初中几何而言就是最难的题目了，初中的学霸可以试试这题。

个人的 ...

个人补课范围，中高考，目标，中高考高分

jbean · 发表于 2022-1-10 07:56

应该说是数学教学爱好者比较恰当。
数学爱好者我理解是自己爱数学吧

Fortran · 发表于 2022-1-11 10:36

jbean 发表于 2022-1-10 07:56
应该说是数学教学爱好者比较恰当。
数学爱好者我理解是自己爱数学吧

数学爱好者，我第一个想到的是韦教主，
数学解题爱好者，我第一个想到的是单墫,
数学教学爱好者，我第一个想到的是镰刀。

小蝴蝶爸爸 · 发表于 2022-9-17 08:07

本帖最后由小蝴蝶爸爸于 2022-9-17 08:11 编辑

其实大学数学系圈子也有鄙视链的，
前几天中午吃饭一个数学系同事说圈子里面
纯数学的鄙视应用数学的
应用数学鄙视搞数学竞赛的。
那些让人高山仰止的竞赛教练一位位大神在大学数学系里面其实混的不怎么样。

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alicex · 发表于 2022-9-17 08:54

小蝴蝶爸爸发表于 2022-09-17 08:07
本帖最后由小蝴蝶爸爸于 2022-9-17 08:11 编辑

其实大学数学系圈子也有鄙视链的，
前几天中午吃饭一个数学系同事说圈子里面
纯数学的鄙视应用数学的
应用数学鄙视搞数学竞赛的。
那些让人高山仰止的竞赛教练一位位大神在大学数学系里面其实混的不怎么样。

有啥好鄙视的？！长江浩浩汤汤，每个人不过只取一瓢饮而已。

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jazking · 发表于 2022-9-17 10:14

LZ如果要进行长线的营销的话，显然学前板块》小学》初中》高中

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