环形跑道背向而行相遇起跑点的问题求教

cloudcloud · 发表于 2022-1-30 21:19

最近辅导小孩碰到一道环形跑道的题目如下：

在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时从起跑线出发，背向而跑，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，当他们第一次相遇在起跑线上时，他们已跑了多少秒？

我自己用的是最小公倍数的方法请教大家这种类型的题目有没有其他更好的思路？

cloudcloud · 发表于 2022-1-30 21:26

我的解法：两人每过50秒相遇一次 (400/(3+5)),每次相遇时甲跑了150米 (3*50), 150和400的最小公倍数是1200，在起点的第一次相遇是总计第8次相遇 (1200/150), 用时400秒（8*50）

cloudcloud · 发表于 2022-1-30 21:40

上面是按两人速度分别为3米/秒和5米/秒来算的速度分别是4米/秒和6米/秒的话答案就是200秒

alicex · 发表于 2022-1-30 22:33

为你精神点赞。恰好有时间，简单说一下。你的方法是标准方法，但下面的方法比较简洁，可以脑算。
甲每次跑到起点时，他用时应是100s的倍数；乙200s恰好可以跑1200，三整圈。所以答案是200s

roammer · 发表于 2022-1-31 07:56

第一次相遇，甲240，乙160，甲比乙多80，要回到原点，甲要吃掉乙的160，还要走2次，共3次

cloudcloud · 发表于 2022-1-31 09:54

alicex 发表于 2022-01-30 22:33
为你精神点赞。恰好有时间，简单说一下。你的方法是标准方法，但下面的方法比较简洁，可以脑算。
甲每次跑到起点时，他用时应是100s的倍数；乙200s恰好可以跑1200，三整圈。所以答案是200s

谢谢书上给的解法是400/(6-4) 我没想明白是怎么来的

cloudcloud · 发表于 2022-1-31 09:54

roammer 发表于 2022-01-31 07:56
第一次相遇，甲240，乙160，甲比乙多80，要回到原点，甲要吃掉乙的160，还要走2次，共3次

你算得不对两人第5次才能相遇在起点

ivy67941842 · 发表于 2022-1-31 10:10

cloudcloud 发表于 2022-01-31 09:54
谢谢书上给的解法是400/(6-4) 我没想明白是怎么来的

每秒两个人差6-4米，要相遇，一定是差一圈，所以400/（6-4）

roammer · 发表于 2022-1-31 11:50

果然错了，每次相遇偏移中点40米，回到原点要200/40 =5

cloudcloud · 发表于 2022-1-31 14:05

ivy67941842 发表于 2022-01-31 10:10
每秒两个人差6-4米，要相遇，一定是差一圈，所以400/（6-4）

你这结论好像不具有普遍性假设两人速度分别是3m/s和5m/s你再试试看

葡萄一串 · 发表于 2022-2-1 02:14

cloudcloud 发表于 2022-1-31 14:05
你这结论好像不具有普遍性假设两人速度分别是3m/s和5m/s你再试试看

确实有漏洞，多走一圈相遇不一定正好在起点，可能多走几圈才能正好相遇在起点。

纳米小矿工 · 发表于 2022-2-1 16:43

分析：因为在起点相遇，所以甲乙都跑了整数圈
假设乙多跑了n圈，那么相遇t＝400n÷(6-4)＝200n
即甲跑了200n×4＝800n ，乙跑了200n×6＝1200n
因为是整数圈，所以800n，1200n必须是400的整数倍，满足条件的n最小值为1
所以400÷(6-4)＝200(秒)

纳米小矿工 · 发表于 2022-2-1 16:49

假设是3m/s和5m/s，那么甲跑了200nx3＝600n 乙跑了200nx5＝1000n
因为跑的都是整数圈，要满足600n和1000n是400的整数倍，n的最小值为2
那么相遇时间t＝400x2÷(6-4)＝400秒

股添乐 · 发表于 2022-2-1 22:16

根据题意，甲跑4圈时乙跑6圈，化简得到：甲跑2圈时乙跑3圈，这就是第一次在起点相遇。时间为：2圈*400米/4（米/秒）=200秒

cloudcloud · 发表于 2022-2-1 23:00

股添乐发表于 2022-02-01 22:16
根据题意，甲跑4圈时乙跑6圈，化简得到：甲跑2圈时乙跑3圈，这就是第一次在起点相遇。时间为：2圈*400米/4（米/秒）=200秒

太赞了你这个思路更加简洁利用两人路程比等于速度比就可以了是我想要的解法多谢！

cloudcloud · 发表于 2022-2-2 09:57

总结一下环形跑道长m米甲速度为a米/秒乙速度为b米/秒若a,b互质则第一次在起点相遇所花时间为m秒；若a,b不互质且最大公约数为n 则所花时间为m/n秒。挺有意思～

[小学数学] 环形跑道背向而行相遇起跑点的问题求教