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发表于 2022-8-11 14:09 | 显示全部楼层 |阅读模式 来自: 中国上海

  昨晚下班回家问娃当天数学做的是否顺利,有无疑问之处,娃说还是觉得待定系数法的性质2书上的证明不对。


  这个性质2前天他就说证明有问题,我当时还顺着书上的意思一通讲解,觉得把他讲明白了,我说既然恒等式是对任意x都成立,那个两边除以x得到的式子对x=0来说也是恒等,所以它可以再取x=0, 得到a1=b1。当时娃支楞了半天,大概被我说的绕晕了,没反驳。


  昨晚他又质疑,我再仔细看了看,觉得自己昨天的说法的确有点牵强附会,感觉书上的证明真的不严谨。娃的疑问是从“两边除以x”那句开始的,既然两边除以x, 那前提是x不等于0, 在x不等于0的前提下得到的恒等式里,再取x=0得到a1=b1, 就会矛盾了,娃认为x=0时应该得不到那个恒等式,更不能在这个得不到的恒等式里取x=0来得到后续的结论。
  
  这是七年级四色书p44页的内容,本来娃已经做到后面的多项式除以多项式了,可每每放不下这个证明,时不时就要掉头回来想这里,以至于后面的进度都慢下来。不知是否有别的书上严谨证明了这个性质2?坛子里是否有大佬可以证明呢?




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发表于 2022-8-11 15:23 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
先抖个机灵,我想到了一个绝妙的证明法,但是每个回复的字数限制不够我写下来……
发表于 2022-8-11 15:25 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
然后是正式回复,第一个x=0后面得出的进而,是对全实数范围内的x都成立的,所以这个时候不存在x必须为零了,所以也可以继续做除法了。
发表于 2022-8-11 16:18 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国山西
四色书这里的证明确实有问题。

发表于 2022-8-11 17:07 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海

这是使用了代数基本定理,已经不算是初等证明了
 楼主| 发表于 2022-8-11 17:11 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
Anderson 发表于 2022-8-11 15:25
然后是正式回复,第一个x=0后面得出的进而,是对全实数范围内的x都成立的,所以这个时候不存在x必须为零了 ...

不大明白,就算那个进而是对全实数范围的x成立,也不代表0可以作为除数来得到全实数范围内“两边除以x”后面的式子恒等呀!0在整个实数范围也不可以作为除数吧?
 楼主| 发表于 2022-8-11 17:14 | 显示全部楼层 来自: 中国上海

非常感谢!我真的没想到这么快可以有人提供证明。
这个证明完全可以让人信服了!虽然用到了娃还没学过的一元n次方程根的性质,但去了解一下就没问题!
可以请教下这段证明出自哪本书吗?
 楼主| 发表于 2022-8-11 17:18 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
乖墩檬乖 发表于 2022-8-11 16:18
四色书这里的证明确实有问题。

四色书这里因为还没教到一元n次方程,所以可能不好证明,用了个看上去似乎证明出来的方式。我翻了其它教到待定系数法的书,都是直接给出性质结论,没有去证明的。
发表于 2022-8-11 17:36 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
暖心阁主人 发表于 2022-08-11 17:11
不大明白,就算那个进而是对全实数范围的x成立,也不代表0可以作为除数来得到全实数范围内“两边除以x”后面的式子恒等呀!0在整个实数范围也不可以作为除数吧?

对全实数成立,后面的除以x就不是除以0了呀。这时候x可以取非0值。
 楼主| 发表于 2022-8-11 18:18 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
Anderson 发表于 2022-8-11 17:36
对全实数成立,后面的除以x就不是除以0了呀。这时候x可以取非0值。

x取非0值才可以除以x, 所以除以x后的式子对x不等于0是恒等的,但不能囊括x=0的情况呢!
发表于 2022-8-11 18:36 | 显示全部楼层 来自: 中国山西
暖心阁主人 发表于 2022-8-11 17:18
四色书这里因为还没教到一元n次方程,所以可能不好证明,用了个看上去似乎证明出来的方式。我翻了其它教 ...

我刚刚看了一下,老版本四色书里是没有这个内容的,老版本的书也就不存在这个问题。
i这里主要是语言描述上,比较难以理解容易产生歧义。
我用通俗语言解释一下吧,还是按照你帖子的图

1、如果性质1成立,即等式左边恒等于右边,那么x可以取任意实数都能使等式成立,自然也就可以取0。当x=0时,要让等式恒成立,必须a0=b0。
2、已知a0=b0了,那么就在等式两边分别减去a0和b0,剩下的依然是个恒等式,对于x取任意实数都成立。
3、既然如此,就可以两边同时除以一个不为零的x,。。。。。

现在能看懂了吧。

点评

1,2一直没有疑义的(两边分别减去a0和b0后的恒等式姑且称为式子A吧) 只有3,式子A两边同时除以不等于0的x后得到的式子(称为式子B),B里x的范围不为0,所以不能在B里再将x设为0来做下一步推论。 对x=0来说   发表于 2022-8-11 21:23
发表于 2022-8-11 21:35 | 显示全部楼层 来自: 中国山西太原
“恒等于”的定义,在这里就是要对于任意x都成立
 楼主| 发表于 2022-8-11 21:43 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
乖墩檬乖 发表于 2022-8-11 18:36
我刚刚看了一下,老版本四色书里是没有这个内容的,老版本的书也就不存在这个问题。
i这里主要是语言描 ...

1,2一直没有疑义的(两边分别减去a0和b0后的恒等式姑且称为式子A吧)

只有3,式子A两边同时除以不等于0的x后得到的式子(称为式子B),式子B里x的范围应排除0,所以不能在B里再将x设为0来做下一步推论。

另一方面,即使不做除法,将式子A两边提取出x来,可以认为 式子A = x 乘以 式子B

x为0时,式子B不恒等也可以保证A恒等,所以式子B里取x=0,不一定能得到a1=b1.

总的来说,不是不明白书里的解释,而是觉得书里这种证明是有漏洞!
 楼主| 发表于 2022-8-11 21:52 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
本帖最后由 暖心阁主人 于 2022-8-11 21:56 编辑
乖墩檬乖 发表于 2022-8-11 21:35
“恒等于”的定义,在这里就是要对于任意x都成立

嗯,对任意x来说,只有式子A是恒等(x等于0和x不等于0,式子A都恒等)。
但是你推论出式子B为恒等式时已经限定x不为0的条件,这就不是对任意x都能得出式子B恒等了。


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