一道有意思的组合证明题

huhuyang2010

n(>3)个数,a1、a2、a3...an围着一圆周，依次将其改写为|a1-a2|、|a2-a3|、|a3-a4|...|an-a1|,叫做完成一次操作，求证：如果起始的a1、a2、a3...an是非零有理数，则若干次操作后迟早会出现0，但可以找到一组实数a1、a2、a3...an，使得无论经过多少次操作，0都不会出现。

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第二个结论哪位搞出来看看哈

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第一个问，我先给一个证明。
先乘以所有数的分母最小公倍数转化为整数（不影响有理数时的结论），然后用反证法。
每轮结果中最大的数是递减的（因为没有0），最后也必须出现0，矛盾！

第二问，还没证明出来。

huhuyang2010

第一问其实还有一个更强的case，n=2^k（k∈N*）时，最后会收敛到全0。

小山

试着答一下第二问，设实数t>1，a1 = 1, a2 = t, a3 = t^2, a4 = t^3 .... an-1 = t^n-2, an = t^n-1，完成1次操作后。a1 = t-1, a2 = t^2 - t, a3 = t^3 - t^2 .... an-1 = t^n-1 - t^n-2, an = t^n-1 - 1。 此时提取a1到an的公因数t-1之后，a1 = 1, a2 = t, a3 = t^2 ..... an-1 = t^n-2, an = (t^n-1 -1)/(t - 1)。也就是除了an之外，其他所有项只是除以了(t-1)这个因子，其他都不变。此时，如果an也能不变，那每轮操作的结果就是整体除以(t-1)，这样就能满足题设，不出0了。所以，问题就变成 (t^n-1 -1)/(t - 1) = t^n-1 (n>2)在t>1时，是否有实数解了。化简得t^n - 2t^n-1 + 1 = 0，令f(t) = t^n - 2t^n-1 + 1 (n>2)。 即f(t) = (t-2) t^n-1 + 1 (n>2)。此时f(3/2) < 0, f(2) > 0，则在(3/2, 2)区间内，必有实数解。得证。

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小山 发表于 2023-6-16 12:28
试着答一下第二问，设实数t>1，a1 = 1, a2 = t, a3 = t^2, a4 = t^3 .... an-1 = t^n-2, an = t^n-1，完成1 ...

谢谢！
我尝试用矩阵去证明，有点繁琐，不是初中的范畴。本质是找矩阵特征值(>0)就够了。

丘水

刚娃在路上看了，说是否可以用狄力克雷定理，无限逼近的方法。

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