再请教一道数论题

uin

已知正整数a，b满足(b^2+ab+1)/(a^2+ab+1)是整数。

求证：a=b

huhuyang2010

假设b>a，设(a,b)=c, a=mc, b=nc, (m,n)=1, n>m>=1.
原式=1+(n+m)(n-m)c^2/[(m(m+n)c^2+1]为整数。
因为((n+m)c^2, m(m+n)c^2+1)=1,所以(n-m)/[(m(m+n)c^2+1]为整数，但0<n-m<[(m(m+n)c^2+1], 矛盾！

kaisl

之前以为楼主是家长，没想到楼主是学生，居然真有学生上这个论坛的。

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热爱数学

kaisl 发表于 2023-10-06 09:10
之前以为楼主是家长，没想到楼主是学生，居然真有学生上这个论坛的。

学生到处有的，家长群里也有学生本人的。也有学生自己咨询择校的。

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jdmath

如果b>a，那么易证(b-1)/a< (b^2+ab+1)/(a^2+ab+1)<b/a,显然 (b^2+ab+1)/(a^2+ab+1)不是整数，矛盾