请教一道数论题

uin

a和b是小于100的正整数，a-2b是素数，2ab是完全平方数，这样的数对(a,b)有多少对？

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ctcnancy

(9，2)、(49，18)、(81，32)

uin

ctcnancy 发表于 2023-12-31 22:41
(9，2)、(49，18)、(81，32)

请教方法

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Paradox

a-2b，若偶，则2，2ab=4b(b+1），非完全平方数，错。
a-2b，只能为奇，a奇，a=n^2<100，a-2b>0，b<50,，b=2m^2<50，n<10，m <5，2ab=2*n^2*2m^2=4*n^2*m^2，可以满足完全平方数。质数=a-2b=n^2-4m^2=（n+2m）*（n-2m），因是质数，n-2m=1，质数=（n+2m）*1=n+2m=4m+1，因m<5，质数<25，故质数=5、13、17，m=1、3、4，故（a，b）=（9，2）、（49、18）、（81、32）

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oooo0000

厉害，数论对我而言太难，怎么都搞不明白

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huns

感谢分享。

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老者008

我家我买软件vip，我已经辅导不了他了，全程自学，不会的就拍照搜下，一般的题目都有解答。

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oooo0000

数论在中考占比多少呢，

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oooo0000

老者008 发表于 2024-01-01 09:49
我家我买软件vip，我已经辅导不了他了，全程自学，不会的就拍照搜下，一般的题目都有解答。

给能自学的娃点赞

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stiff

oooo0000 发表于 2024-1-1 09:59
数论在中考占比多少呢，

0%,0%,0%,0%,0%,

uin

Paradox 发表于 2023-12-31 23:47
a-2b，若偶，则2，2ab=4b(b+1），非完全平方数，错。
a-2b，只能为奇，a奇，a=n^2&lt;100，a-2b&gt;0，b&lt;50,，b=2m^2&lt;50，n&lt;10，m &lt;5，2ab=2*n^2*2m^2=4*n^2*m^2，可以满足完全平方数。质数=a-2b=n^2-4m^2=（n+2m）*（n-2m），因是质数，n-2m=1，质数=（n+2m）*1=n+2m=4m+1，因m&lt;5，质数&lt;25，故质数=5、13、17，m=1、3、4，故（a，b）=（9，2）、（49、18）、（81、32）

谢谢

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山海

oooo0000 发表于 2024-01-01 10:00
给能自学的娃点赞

请教，啥软件。早就辅导不了了

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huns

证法好像不完美

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huhuyang2010

Paradox 发表于 2023-12-31 23:47
a-2b，若偶，则2，2ab=4b(b+1），非完全平方数，错。
a-2b，只能为奇，a奇，a=n^20，b

略不严谨。
a为奇数的情况，a和b没有公共素因子（如果有a-2b就有该素因子，矛盾！），才有a=n^2的推论。

Paradox

huhuyang2010 发表于 2024-01-02 12:06
略不严谨。
a为奇数的情况，a和b没有公共素因子（如果有a-2b就有该素因子，矛盾！），才有a=n^2的推论。

手机打字，能省则省，将就着看看当参考吧

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gaozeyu

厉害啊，牛啊

fargo888

Paradox 发表于 2023-12-31 23:47
a-2b，若偶，则2，2ab=4b(b+1），非完全平方数，错。
a-2b，只能为奇，a奇，a=n^2&lt;100，a-2b&gt;0，b&lt;50,，b=2m^2&lt;50，n&lt;10，m &lt;5，2ab=2*n^2*2m^2=4*n^2*m^2，可以满足完全平方数。质数=a-2b=n^2-4m^2=（n+2m）*（n-2m），因是质数，n-2m=1，质数=（n+2m）*1=n+2m=4m+1，因m&lt;5，质数&lt;25，故质数=5、13、17，m=1、3、4，故（a，b）=（9，2）、（49、18）、（81、32）

a=m^2，错。a=15，b=6，有公因数3，应该b=2m，a=4m+p（p是质数，m是正整数）

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fargo888

huhuyang2010 发表于 2024-01-02 12:06
略不严谨。
a为奇数的情况，a和b没有公共素因子（如果有a-2b就有该素因子，矛盾！），才有a=n^2的推论。

a=m^2，错。a=15，b=6，有公因数3，应该b=2m，a=4m+p（p是质数，m是正整数）

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Paradox

fargo888 发表于 2024-01-02 17:59
a=m^2，错。a=15，b=6，有公因数3，应该b=2m，a=4m+p（p是质数，m是正整数）

按照你建议的（15，6），a-2b=15-2*6=3，素数，符合，2ab=2*15*6=180，不是完全平方数，不符合。
如果要严谨，a-2b为素数要分情况讨论的，第一种是偶数2，具体不展开，第二种是奇数，且a和2b有公因数，该公因数是素数且提取后二者剩余部分的差为1，因为如果不为1就无法满足a-2b素数，第三种是奇数，就是上面的解法。
你建议的其实是a和b有公因数，能凑出来第一对完全平方数，然后再提供一个2和2ab的2凑在一起提供第二对完全平方数，也许ab能再提供第三第四对，但a-2b为素数，第三第四对不可能拆开分别给a和b，如果有，也是一人一个单独的。你单独多给了a一个因素5，导致2ab不是完全平方数。第二种情况还分两种情况，a-2b=k*s^2-2*2*k*t^2=k*(s^2-4t^2)，做不到k*1，如果想知道为什么，假设s^2-4t^2=1，s^2-(2t)^2=1，(s+2t)*(s-2t)=1，无正整数解；
a-2b=k*2*s^2-2*k*t^2=2k*(s^2-t^2)，有2k肯定不是素数，所以不行的呀。
手机打字嘛，懒的打字，不可能写的详细严谨，有些过程直接省略了，这就跟上课老师讲题，点到即止，过程和细节略过，省时间嘛。
PS：体谅一下三年级小朋友吧，他解的，全凭感觉，考虑不全面，我整理的时间懒的补充了。

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fargo888

三年级能做铁定jxd了

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fargo888

确实可以排除 若（a，b）=p，令b=2kp，a=（4k+1）p，则2ab=4p^2（4k^2+k），而（2k）^2《4k^2+k《（2k+1）^2，所以2ab不是完全平方数，排除（a，b）=p，所以a是n^2

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Paradox

fargo888 发表于 2024-01-02 19:46
三年级能做铁定jxd了

还真不是jxd的，小朋友一半课余时间在搞体育

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fargo888

哈哈 我是说铁定能H8冲sh了

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jdmath

2ab是完全平方数，设a=km^2,2b=kn^2,(m,n)=1,
a-2b=k(m^2-n^2)是素数,因此k=1
于是(m+n)(m-n)=p是素数,因此m-n=1,而n=2t是偶数，所以m+n=4t+1是素数，而a小于100，于是m<10,4t+1=2m-1<19,于是4t+1=5,13,17对应的
t为1,3,4,(a,b)=((2t+1)^2，2t^2)=(9，2)、(49，18)、(81，32)