一道三角形内接相似三角形的题

huhuyang2010

锐角△ABC中，D和E分别为AB和AC中点 ，A1、B1、C1分别为BC、AC、AB上非中点的点，B1C1和DE交于点F，∠BAC=∠B1A1C1 ，∠ABC=∠A1B1C1 ，求证：A1F⊥B1C1 。

此题有一定难度。

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huhuyang2010

提供几个解法，按需参考。
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证法1：
图在最后，给一个三角证法。
△A1B1C1,过A1,B1,C1做对边平行线，得到△A2B2C2。
AC1B1A2四点共圆，∠AB1A2=∠AC1A2, 进一步可知△A1B1C1和△ABC的对应边夹角都相等，设为θ。
设△A1B1C1与△ABC的相似比为K,△ABC外接圆半径R。
Ka/sinA=B1C1/sinA=AB1/sin(B+θ) => AB1=2KR*sin(B+θ),
同理 B1C=2KR*sin(B-θ)， b=AB1+B1C=4KR*sinBcosθ=2R*sinB => K=1/(2cosθ)。
C1D=1/2c-c*sin(C-θ)/(2sinC*cosθ)= 1/2*c*tanθ/tanC。
同理B1E=1/2*b*tanθ/tanB。
C1F/C1D=sinB/sin∠C1FD， B1F/B1E=sinC/sin∠B1FE
C1F/B1F=sinB/sinC*c/b*tanB/tanC=tanB/tanC。
∴A1F⊥B1C1。

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证法2：
不用三角运算的做法：
B2,A2在AB上的垂足为B3,A3,倒角易证△ A2AA3全等于△ B2BB3，B3A3=AB，A2B2/AB=1/cosθ，所以△ A1B1C1和△ ABC相似比1/(2cosθ)。
同样处理，C1 B1在DE上垂足为M1 M2，则DM1=EM2，C1F/FB1=C1M1/B1M2=DM1*tanB/EM2*tanC=tanB/tanC，
∴A1F⊥B1C1。

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证法3（引自其它网友）：
设△ABC外心为O BC边中点为M 显然DEM为中位线三角形
A1C1和DM交于G   A1B1和EM交于H
设△A1B1C1 垂心为O’ ∠B1O'C1=180°-∠B1A1C1=180°-∠A
∴AC1O’B1四点共圆
同理 BA1O'C1 和CA1O’B1 也都共圆
通过倒角易知∠BO'C=360°-（∠ABC+∠ACB）-（∠BA1C1+∠CA1B1）=2∠A
同理∠AO’B=2∠C
∴O’=O 即O为△A1B1C1垂心  
∴A1O⊥B1C1
易知O也是△DEM垂心
∴C1O⊥A1B1 DO⊥EM
∴∠C1OD=∠EHB1=∠EFB1=∠C1FD（这里用到EB1HF四点共圆这个结论是显然的）
∴C1DOF 四点共圆
∴∠OFC1=180°-∠ODC1=90° 即OF⊥B1C1
∴A1OF三点共线 且A1F⊥B1C1

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说明：
1.锐角三角形能保证一定有有交点F。除此以外，可以放宽锐角三角形为任意三角形，内接相似三角形有无穷多个，最小的相似比1/2，最大的相似比无限接近1/(2*cos(min(A,B,C)))。
2.这题体现出三角解法的定量分析优越性，纯几何解法的精妙，各有千秋。