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[初中数学] 市北资优生 六年级题目 寻求答疑

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发表于 2024-3-20 18:01 | 显示全部楼层 |阅读模式 来自: 中国上海


这两道例题72,36  能分解出很多因数组合, 但是答案只选了其中一组,为什么选8x9 , 4x9 这个组合? 为什么不考虑能被2整除,被3整除? 或者其他12X6,24X3这样拆分?如果题目是能被48整除, 是选择拆分6X8吗?

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发表于 2024-3-20 19:35 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
先说例题2:
72名学生,你不妨把问题转化为每个同学交多少钱,以分币来衡量;这样就可以把小数转化为整数整除问题。
口527口 可以被72整除,72是9x8,9和8互质。因此口527口须同时满足被9整除,又被8整除。根据9的倍数的位值规律和8的倍数的位值规律,可以得出答案。
发表于 2024-3-20 19:43 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
例题3更简单一点,其实隐含了有序枚举的思路。
首先将36分为4x9。
之所以选4和9作为倍数的基准而不是36的其他因数,也是因为4、9互质,不会互相影响失去独立性。

然后先根据4,是因为简单容易判断:4的倍数决定了十位只能是13579。

然后就是有序枚举,为了使原数最小(即商最小),假设A=0尝试做下去,如果不行,那就让A=1,A=2。。。
发表于 2024-3-20 19:45 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
如果是48,应该是拆成3x16,进而把16拆成8x2。
发表于 2024-3-20 20:05 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
这里有个分解质因数的概念在里面
72分解质因数
3 x 3 x 2 x 2 x 2
或者是
3^2 X 2^3
 楼主| 发表于 2024-3-20 22:18 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
谢谢回复,很详细很清晰。也就是需要拆分互为质数的两个因数。 还想问一下,为什么互质不会互相影响失去独立性?  为什么8x9,9不需要再拆分,但是3x16,16要继续拆分8x2呢
 楼主| 发表于 2024-3-20 22:19 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
小蝴蝶爸爸 发表于 2024-03-20 20:05
这里有个分解质因数的概念在里面
72分解质因数
3 x 3 x 2 x 2 x 2
或者是
3^2 X 2^3

谢谢回复,还有个疑问是,为什么要拆分成两个互为质数的因数呢
 楼主| 发表于 2024-3-20 22:20 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
乖墩檬乖 发表于 2024-03-20 19:45
如果是48,应该是拆成3x16,进而把16拆成8x2。


谢谢回复,很详细很清晰。也就是需要拆分互为质数的两个因数。 还想问一下,为什么互质不会互相影响失去独立性?  为什么8x9,9不需要再拆分,但是3x16,16要继续拆分8x2呢?

发表于 2024-3-20 22:31 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
calaine 发表于 2024-03-20 22:20
谢谢回复,很详细很清晰。也就是需要拆分互为质数的两个因数。 还想问一下,为什么互质不会互相影响失去独立性?  为什么8x9,9不需要再拆分,但是3x16,16要继续拆分8x2呢?

不能拆成2×8,2和8不互质,48=3×16就行,能被16整除的数是后四位能被16整除
发表于 2024-3-20 22:41 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
本帖最后由 zhangswallow 于 2024-3-21 07:46 编辑
calaine 发表于 2024-03-20 22:19
谢谢回复,还有个疑问是,为什么要拆分成两个互为质数的因数呢


用72举例,如果拆为8×9,那么在后面判断整除,其实本质是判断了这个数能被3个2和2个3整除,这个数至少有质因数3个2和2个3;如果拆为4×18,能被4整除表示能被2个2整除,能被18整除表示能被1个2和2个3整除,那么其实按这样判断出来的数能表示至能少被2个2整除,这样就少算1个2,就是因为4和18有公因数2
发表于 2024-3-21 07:31 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
感谢分享。
发表于 2024-3-21 08:03 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
感谢分享。
发表于 2024-3-21 08:04 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
其实,学过小奥的应该都会做,有专门整除的几章内容……
发表于 2024-3-21 08:44 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国江苏徐州
这是奥数题吗
 楼主| 发表于 2024-3-21 09:23 | 显示全部楼层 来自: 中国上海

标题有写书本,市北资优生,六年级
 楼主| 发表于 2024-3-21 09:24 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
223 发表于 2024-3-21 08:04
其实,学过小奥的应该都会做,有专门整除的几章内容……

会做是会做,但是讲不清其中的道理,比如为什么能被72整除,就想到把72拆分成两个互质的数相乘,也就是为什么一定要互质因数?
发表于 2024-3-21 09:36 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
calaine 发表于 2024-3-21 09:24
会做是会做,但是讲不清其中的道理,比如为什么能被72整除,就想到把72拆分成两个互质的数相乘,也就是为 ...

其实不是互质的两个数相乘,任意两个数相乘都可以,但关键是任意两个数相乘对于解题无意义。
比如72,可以=8X9, 也可以 12x6,也可以36x2,也可以 3x24,但是,只有被2、3、4、5、7、8、9、11、13的数字才有规律:
比如,被2整除,说明是偶数
被3整除,所有位的和加起来可以被3整除
被4整除,最后两位能被4整除
被5整除,最后一位是0或5
被8整除,最后3位能被8整除。。。
发表于 2024-3-21 09:39 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
后面那一题也一样,36只能拆成4x9才对解题有意义,拆成3X12就没用,因为因数是3确实有规律,但因数12没有规律。
这两题也困扰过我,不过后来想明白了。
 楼主| 发表于 2024-3-21 09:41 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
go419hcl 发表于 2024-3-21 09:39
后面那一题也一样,36只能拆成4x9才对解题有意义,拆成3X12就没用,因为因数是3确实有规律,但因数12没有规 ...

谢谢解惑~
发表于 2024-3-21 11:50 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
拆成8*9只是为了计算方便

因为任何整千数(1000,2000...)都能被8整除,所以一个能被8整除的四位数(或更高位数的数字),它的末三位数必定也能被8整除,从而可以确定个位数字是2,你如果拆成4的话,那么4的性质是末两位数能被4整除(因为100能被4整除),所以这里就会出现72和76两种情况,计算就复杂了,至于2就更不谈了,2468都有可能

又因为一个能被9整除的任意数,它各位数字加起来一定也能被9整除,从而就可以得出答案。当然你也可以考察3,被3整除的数也有一样的性质(各位数字加起来能被3整除),但这里答案不唯一,你还得再算一下去掉错误答案,会稍微麻烦点
发表于 2024-3-21 11:58 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
这种题目做了有什么意义
发表于 2024-3-21 13:33 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
niur 发表于 2024-03-21 11:58
这种题目做了有什么意义

好玩啊,做数学题除了拿分,就是好玩而已。
发表于 2024-3-21 15:24 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国江苏
判断一个数能否被另一个整除,当另一个数不是你已知的整除规则,比如2 4 8 3 5 7 11 13 等,那么需要把另一个数拆分成你知道整除规则的两个或多个数,比如能被72整除的数的特征我们不知道,但是我们知道能被8和9整除的数的特征,所以要拆成8×9,然后分别考虑被8和9整除的要求。
另一个要求是拆的数必须两两互质,也就是拆出来的数的质因数不能有重复,举个例子,72=2×2×2×3×3,那么能被72整除的数分解质因数是不是至少有3个2和2个3?但是如果把72拆成4×18,你会发现36能被4整除也能被18整除,但显然36不能被72整除,就是因为4和18有公因数2,在你分别判断能否被4和18的整除的时候,其实只能保证这个数的质因数最少有2个2,不能保证有3个2
发表于 2024-3-21 16:00 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
zhangswallow 发表于 2024-3-21 15:24
判断一个数能否被另一个整除,当另一个数不是你已知的整除规则,比如2 4 8 3 5 7 11 13 等,那么需要把另一 ...

嗯,这个说法更合理。我之前的说法是有问题的,如果考能被32整除的数字,就会出现错误。
互质确实是必须的。@calaine
 楼主| 发表于 2024-3-21 16:05 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
zhangswallow 发表于 2024-3-21 15:24
判断一个数能否被另一个整除,当另一个数不是你已知的整除规则,比如2 4 8 3 5 7 11 13 等,那么需要把另一 ...

学习了,非常感谢!
发表于 2024-3-22 10:53 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
zhangswallow 发表于 2024-03-21 15:24
判断一个数能否被另一个整除,当另一个数不是你已知的整除规则,比如2 4 8 3 5 7 11 13 等,那么需要把另一个数拆分成你知道整除规则的两个或多个数,比如能被72整除的数的特征我们不知道,但是我们知道能被8和9整除的数的特征,所以要拆成8×9,然后分别考虑被8和9整除的要求。
另一个要求是拆的数必须两两互质,也就是拆出来的数的质因数不能有重复,举个例子,72=2×2×2×3×3,那么能被72整除的数分解质因数是不是至少有3个2和2个3?但是如果把72拆成4×18,你会发现36能被4整除也能被18整除,但显然36不能被72整除,就是因为4和18有公因数2,在你分别判断能否被4和18的整除的时候,其实只能保证这个数的质因数最少有2个2,不能保证有3个2

第一点就是化元思想,用已知解决未知
发表于 2024-3-22 11:33 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
学霸好多,顶贴。。。
发表于 2024-4-10 08:53 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
严谨专业,涨知识
发表于 2024-5-10 12:59 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
因为8和9互素,被8和9整除,就能被72整除
而且8整除,9整除都有特征
如果拆成12和6,一个问题是被12和6不互素,被12和6整除,不一定能被72整除
另一个问题是被12和6整除,没有简单的特征
市北理这套书,最好有人带着学习,里面还有一些错误,比如前几天有个学生问我6年级的单位分数分解,刚开始的论述就有问题,只给了构造,没证明唯一,下面的例题需要用到唯一性
发表于 2024-5-10 13:02 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
互素的意义在于,在整除的世界里,素数是最小单元,不能再分解,两个数互素,相当于两者的最小单元完全不相干,如果能同时被它们整除,就得包含两者的所有最小单元,不会发生重叠
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