请教：一道预初不等式的题目

go419hcl · 发表于 2024-4-26 10:15

本帖最后由 go419hcl 于 2024-4-26 10:30 编辑

请教：已知 5/7<a/b<3/4 ，求当b最小时，a+b的值，这一题要如何解？

奥精上有个类似的题目，但答案给得太简单，没有明白。

Cindy1234567 · 发表于 2024-4-26 11:26

答案19，字数字数

ctcnancy · 发表于 2024-4-26 11:39

是不是漏了ab都是整数？用整数的连续性求解。

go419hcl · 发表于 2024-4-26 13:23

ctcnancy 发表于 2024-4-26 11:39
是不是漏了ab都是整数？用整数的连续性求解。

对，ab都是整数

go419hcl · 发表于 2024-4-26 13:24

Cindy1234567 发表于 2024-4-26 11:26
答案19，字数字数

8/11, 结果应该是对的，计算过程应该怎么推导？

Cindy1234567 · 发表于 2024-4-26 13:27

小朋友说参考这个就能懂：a/b<(a+c)/(b+d)< c/d (b & d & b+d 都不等于0）

go419hcl · 发表于 2024-4-26 14:09

Cindy1234567 发表于 2024-4-26 13:27
小朋友说参考这个就能懂：a/b

明白了，多谢解答。
嗯，第一次可以证明(a+c)/(b+d)>a/b ，以后记住这个结论就行了。

/shd翔之豚 · 发表于 2024-4-26 15:13

是不是只能是正数？

wayne@sh · 发表于 2024-4-26 20:55

通分，20/28<a/b<21/28，20和21之间没有整数，继续通分，40/56<a/b<42/56, 所以a=41,b=56且这时b最小

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luolonghao · 发表于 2024-4-26 23:27

好像有道理，但答案为什么不是 8/11

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ctcnancy · 发表于 2024-4-27 10:19

本帖最后由 ctcnancy 于 2024-4-27 10:21 编辑

娃的解答，供参考

S.HOO · 发表于 2024-4-27 10:43

ctcnancy 发表于 2024-04-27 10:19
本帖最后由 ctcnancy 于 2024-4-27 10:21 编辑

娃的解答，供参考

完美～～～～

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go419hcl · 发表于 2024-4-27 15:55

wayne@sh 发表于 2024-4-26 20:55
通分，20/28

这个答案不正确。

go419hcl · 发表于 2024-4-27 16:02

Cindy1234567 发表于 2024-4-26 13:27
小朋友说参考这个就能懂：a/b

用这种方法做奥精C的一题，好像不能得出正确答案：
已知p、q都是正整数，且7/10<p/q<11/15，当q最小时，pq的值为多少？

go419hcl · 发表于 2024-4-27 16:09

ctcnancy 发表于 2024-4-27 10:19
娃的解答，供参考

完美，这个思路非常棒，奥精那道题目也能解决。

go419hcl · 发表于 2024-4-27 16:20

go419hcl 发表于 2024-4-27 16:09
完美，这个思路非常棒，奥精那道题目也能解决。

好像不对，用这种方法做奥精C的那道题，得出q最小值为5，也不是正确答案。。。

S.HOO · 发表于 2024-4-27 18:24

go419hcl 发表于 2024-04-27 16:20
好像不对，用这种方法做奥精C的那道题，得出q最小值为5，也不是正确答案。。。

p/q是5/7吗

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go419hcl · 发表于 2024-4-28 09:16

S.HOO 发表于 2024-4-27 18:24
p/q是5/7吗

是的，是5/7

Cindy1234567 · 发表于 2024-4-28 17:45

go419hcl 发表于 2024-4-27 16:02
用这种方法做奥精C的一题，好像不能得出正确答案：
已知p、q都是正整数，且7/10

小朋友说5/7, 他说凭数感做的。。。。

go419hcl · 发表于 2024-4-28 17:59

Cindy1234567 发表于 2024-4-28 17:45
小朋友说5/7, 他说凭数感做的。。。。

答案是对的，但希望知道解题思路，毕竟数学不是英语。

jdmath · 发表于 2024-4-29 22:42

如果a/b<e/f< c/d，求最小的e,f
令bc-ad=k,
可以证明 e>=(a+c)/k
f>=(b+d)/k
特别情况 bc-ad=1
那么e=a+c,f=b+d

5/7<a/b<3/4 ，求当b最小时，a+b的值，
3*7-4*5=1,因此a=8 b=11

已知p、q都是正整数，且7/10<p/q<11/15，当q最小时，pq的值为多少
10*11-7*15=5 那么q>=25/5=5,q=5,6没有满足要求的数p q=7 p=5满足要求
从p的角度看 p>=18/5,p=4没有满足要求的q p=5,q=7满足要求

go419hcl · 发表于 2024-4-30 09:47

jdmath 发表于 2024-4-29 22:42
如果a/b=(a+c)/k
f>=(b+d)/k
特别情况 bc-ad=1

非常感谢！思路很棒，不过我还是有个问题，这个最后就变成枚举了，在数字非常小的情况下容易得出答案，但当数字非常大的时候如何得到答案呢？
举个例子，我们把左右两边的直线斜率无限接近，比如左边分子分母同乘以38，再分别+11和15，右边也变成和它斜率接近的直线。已知p、q都是正整数，且277/395<p/q<137/195，求当q最小时，p、q的值。
137*395-277*195=100 ，那么q>=590/100=5.9, 然后从q=6 开始进行枚举，感觉也很难获得正确答案。。。

jdmath · 发表于 2024-4-30 14:24

数字大的话，需要用到连分数展开
277/395的连分数展开=[0,1,2,2,1,7,5]
137/195的连分数展开=[0,1,2,2,1,3,5]
由于两个分数的数值比较接近连分数展开前几位应该相同，3和7不同，
分母最小时第一个不同的值取4 [0,1,2,2,1,4]=33/47
https://baike.baidu.com/item/%E8%BF%9E%E5%88%86%E6%95%B0/2715871

数字小的时候用连分数就不合算

go419hcl · 发表于 2024-4-30 16:17

jdmath 发表于 2024-4-30 14:24
数字大的话，需要用到连分数展开
277/395的连分数展开=[0,1,2,2,1,7,5]
137/195的连分数展开=[0,1,2,2,1, ...

太厉害了！
虽然连分数已经超出了我的认知范围，但只要确定在两个分数非常接近的时候，并不需要用枚举法，就能解答我的疑问了。非常感谢！！！

[初中数学] 请教：一道预初不等式的题目

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