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[初中数学] 数论方程题

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发表于 2024-6-5 08:55 | 显示全部楼层 |阅读模式 来自: 中国上海
已知a,b,c这三个整数的最大公因数为1,并且无论将a,b,c以何种顺序填入下面关于x的方程的系数中,该方程总有两个有理数解,则这样的整数组(a,b,c)的组数有多少个?

__x^2  + __ x + __ = 0
发表于 2024-6-5 09:15 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
无穷多个
比如a+b+c=0,且(a,b)=1即可
 楼主| 发表于 2024-6-5 09:19 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
huhuyang2010 发表于 2024-6-5 09:15
无穷多个
比如a+b+c=0,且(a,b)=1即可

要有理数解,这种方法不能保证3个△都是完全平方数
发表于 2024-6-5 09:48 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
dora_clx 发表于 2024-6-5 09:19
要有理数解,这种方法不能保证3个△都是完全平方数

x=1必是其中一个根,另一个也是有理根
发表于 2024-6-5 10:01 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
本帖最后由 huhuyang2010 于 2024-6-5 10:08 编辑

ax1^2+bx1+c=0
bx2^2+cx2+a=0
cx3^2+ax3+b=0
加起来(a+b+c)(x1^2+x2^2+x3^2+x1+x2+x3+1)=0
x1^2+x2^2+x3^2+x1+x2+x3+1=(x1+1/2)^2+(x2+1/2)^2+(x3+1/2)^2+1/4>0,所以a+b+c=0。
所以必须a+b+c=0,(a,b)=1,abc不等于0。(因为(a,b,c)=(a,b,-(a+b))=1,所以(a,b)=1,反过来也成立)
反过来,如果满足a+b+c=0,(a,b)=1,abc不等于0,必有一根为1,另一根也是有理数。
综上,充要条件a+b+c=0,(a,b)=1,abc不等于0,有无穷多组(a,b,c)。
发表于 2024-6-5 14:08 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
huhuyang2010 发表于 2024-06-05 10:01
本帖最后由 huhuyang2010 于 2024-6-5 10:08 编辑

ax1^2+bx1+c=0
bx2^2+cx2+a=0
cx3^2+ax3+b=0
加起来(a+b+c)(x1^2+x2^2+x3^2+x1+x2+x3+1)=0
x1^2+x2^2+x3^2+x1+x2+x3+1=(x1+1/2)^2+(x2+1/2)^2+(x3+1/2)^2+1/4>0,所以a+b+c=0。
所以必须a+b+c=0,(a,b)=1,abc不等于0。(因为(a,b,c)=(a,b,-(a+b))=1,所以(a,b)=1,反过来也成立)
反过来,如果满足a+b+c=0,(a,b)=1,abc不等于0,必有一根为1,另一根也是有理数。
综上,充要条件a+b+c=0,(a,b)=1,abc不等于0,有无穷多组(a,b,c)。

bx1+cx2+ax3不等于(a+b+c)(x1+x2+x3),相加的方程式算不出来
发表于 2024-6-5 15:02 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
guttag 发表于 2024-06-05 14:08
bx1+cx2+ax3不等于(a+b+c)(x1+x2+x3),相加的方程式算不出来

搞错了,必要性有问题,我晚点看下
发表于 2024-6-5 20:55 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
除了a+b+c=0的解,52,5,-33是最小的解,看不出什么规律,这种解也应该有无穷多种
发表于 2024-6-5 23:44 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
a不为0,c为0,b任意非0整数不就行了吗?
 楼主| 发表于 2024-6-6 08:39 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国
Lulei 发表于 2024-06-05 23:44
a不为0,c为0,b任意非0整数不就行了吗?

abc不能为0, 6个方程都要有有理数解
发表于 2024-6-6 08:41 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
2,3,1
1,3,2
 楼主| 发表于 2024-6-6 09:36 | 显示全部楼层 来自: 中国上海

要排练组合 6 个方程,全是正整数的肯定不行。
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