一道叙述很短的平几题

huhuyang2010

看看大家有什么好的证法。

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huhuyang2010

手机上贴图不显示，PC上才行。
@版主，请解决下。

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helenkong

huhuyang2010 发表于 2024-07-26 18:50
本帖最后由 huhuyang2010 于 2024-7-26 20:56 编辑

手机上贴图不显示，PC上才行。
@版主，请解决下。

好像解决了，现在看得到

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一麻麻

惭愧，我娃想了半天没做出来

huhuyang2010

一麻麻 发表于 2024-7-30 14:23
惭愧，我娃想了半天没做出来

这题我有个证法，比较复杂。
看看有没有简单的解法。
晚点会贴我的解法。

huhuyang2010

公布我的证法，如有更好的方法，欢迎贴出来欣赏。
△AOB和△COD对称翻折到△AOF和△COG，FD与AC交于H，BG与AC交于I，FD与BG交于J。
利用手拉手，可得△FOD≌△BOG∽△AOC。
∠OAI=∠OBI，OABI四点共圆，OI⊥BG；同理OH⊥FD。进一步OHJI四点共圆，OH=OI（全等三角形，对应高相等），HJ=IJ，所以OJ⊥AC（OJ是AC中垂线）。
∠OFJ=∠OBJ，OFBJ四点共圆；同理OJDG四点共圆。
接下来用塞瓦角元定理，证明OJE共线即可！
sin∠BOJ/sin∠DOJ*sin∠ODE/sin∠BDE*sin∠DBE/sin∠OBE=(sin∠BFD/sin∠BGD)*(sin∠ODE/sin∠OBE)*(sin∠DBE/sin∠BDE)=(sin∠BFD/sin∠BGD)*(OA*sin∠AOD/AD/(OC*sin∠BOC/BC))*(sin∠DBE/sin∠BDE)=(sin∠BFD/sin∠BGD)*(OA/AD*BC/OC))*(sin∠DBE/sin∠BDE)=(sin∠BFD/sin∠BGD)*(AB/AD*BC/CD)*(sin∠DBE/sin∠BDE)=(sin∠BFD/sin∠BGD)*(sin∠BDE/sin∠FBD*sin∠BDG/sin∠DBE)*(sin∠DBE/sin∠BDE)=sin∠BFD/sin∠BGD*sin∠BDG/sin∠FBD=sin∠BFD/sin∠FBD*sin∠BDG/sin∠BGD=BD/FD*BG/BD=1
证毕！

一麻麻

huhuyang2010 发表于 2024-7-30 18:12
公布我的证法，如有更好的方法，欢迎贴出来欣赏。
△AOB和△COD对称翻折到△AOF和△COG，FD与AC交于H，BG ...

我娃请教了老师，老师最后用同一法证出来了

一麻麻

huhuyang2010 发表于 2024-7-30 18:12
公布我的证法，如有更好的方法，欢迎贴出来欣赏。
△AOB和△COD对称翻折到△AOF和△COG，FD与AC交于H，BG ...

用四点共圆可以用证出来

huhuyang2010

贴个优雅的证明，同一法

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