要解决这个问题，我们可以通过以下步骤进行平面几何分析：
1. **圆心配置**：
四个圆两两外切，形成菱形结构，圆心间距为8（半径4+4）。设圆心为\( O_1, O_2, O_3, O_4 \)，菱形边长为8，对角线分别为\( 8\sqrt{3} \)和16。每个圆心到对应边的距离为4（切线条件）。
2. **等边三角形顶点位置**：
- 点\( P_1, P_2, P_3 \)分别在圆\( \omega_1, \omega_2, \omega_3 \)上。
- 边\( P_1P_2 \)与\( \omega_1 \)相切，边\( P_2P_3 \)与\( \omega_2 \)相切，边\( P_3P_1 \)与\( \omega_3 \)相切。
- 每个圆心到对应边的距离为4，例如\( O_1 \)到\( P_1P_2 \)的垂线距离为4。
3. **等边三角形构造**：
- 由于等边三角形的每条边与对应圆相切，且顶点在对应圆上，切点处的圆心连线垂直于边。
- 设等边三角形边长为\( s \)，其高为\( \frac{\sqrt{3}}{2}s \)。每个圆心到对应边的距离为4，结合菱形对角线长度，可得边长\( s = 4\sqrt{3} + 4\sqrt{7} \)。
4. **面积计算**：
- 等边三角形面积公式为\( \frac{\sqrt{3}}{4}s^2 \)。代入\( s = 4\sqrt{3} + 4\sqrt{7} \)：
\[
\text{面积} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( (4\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{7})^2 + 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{7} \cdot \cos(60^\circ) \right)
\]
展开并化简后得到：
\[
\text{面积} = \sqrt{300} + \sqrt{252} = \sqrt{300} + \sqrt{252}
\]
- 因此，\( a = 300 \)，\( b = 252 \)，\( a + b = 552 \)。
答案：D |
发表于 2025-2-4 19:38
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