|
|
楼主 |
发表于 2025-2-26 14:21
|
显示全部楼层
来自： 中国上海
大家热情这么高，我贴下自己的解法。
易得∠ECB=∠ABE=a1，∠EBC=∠ECA=a2。
由塞瓦角元定理, sin∠BAD/sin∠DAC*sina2/sina1*sina2/sina1=1 => sin∠BAD/sin∠DAC=(sina1/sina2)^2 => BD/DC=(BE/EC)^2。
设BE=x, CE=1, BC=sqrt(x^2+x+1), BD/DC=x^2。下面就是应用斯特**(Stewart)定理计算DE了。
ED^2=2x^2/(x^2+1)-x^2* /((x^2+1)^2)*(x^2+x+1), DC^2=1/((x^2+1)^2*(x^2+x+1)。
ED=DC可以推导出(x^2+1)(x^2-x-1)=0 => x=(1+sqrt(5))/2。
如果不熟悉塞瓦角元定理，也可以通过纯几何方式推导，如下：
△BEC绕C点逆时针旋转60度到△AHC，易知BEH三点共线，BH交AC与F。∠HAC=∠EBC=∠ECA=》AH // EC，AF/FC=AH/EC=BE/EC。
另一方面，易知△BCF≌△CAG，CF=AG，FA=GB。
由塞瓦定理 BD/DC*CF/FA*AG/GB=1=>BD/DC=(AF/FC)^2=(BE/EC)^2。
|
本帖子中包含更多资源
您需要 登录 才可以下载或查看，没有账号？注册
x
|
发表于 2025-2-25 16:22
