一道叙述很短的几何题

huhuyang2010

设 I，H 分别为 △ABC的内心和垂心， A1 为 △BHC 的外心，A，I、A1 三点共线，求 ∠BAC。

Wendier

楼主是求解答吗

huhuyang2010

Wendier 发表于 2025-4-11 13:46
楼主是求解答吗

交流解答。
我有个解法，晚点贴。

huhuyang2010

一个解法，如下。
设ABC外接圆为圆O，半径R1，BHC外接圆为圆A1，半径为R2
∠BHC=180-∠A，所以R1=BC/(2sin∠A)=BC/(2sin∠BHC)=R2，所以OC=AC。
又OA1⊥BC（两圆连心垂直于公共弦），所以BC平分OA1。
由欧拉定理得OA1平行等于AH，OAHA1为平行四边形。
∠OAB=90-∠C=∠CAD，I在AA1上，所以∠OAI=∠HAI，OAHA1为菱形，OA=OA1 => R=2Rcos∠A =>cos∠A=1/2, ∠A=60。