再说方程和算术：一道5升6的行程问题的简洁解法，基础是什么

huangchen

说说我的算术解题思路：
1.无论是顺水还是逆水，在同一段水中行驶相同时间是不会改变行驶距离的。
2.船从甲到乙行驶时间大于4，小于6。
3.前4小时比后4小时多行48：即从乙处逆水行驶至第8小时处的距离比相同时间的顺水距离少48。也即2倍的水速乘以从乙到第8小时处的时间等于48。
4.同理可以推出前6比后6多行80就是：从甲行驶至乙的距离比相同时间的逆水距离多80.也即2倍的水速乘以从甲到乙的时间等于80。
5.那么80+48就是2倍的水速乘以8小时，所以水速=8
6.知道水速后，根据条件4可算出从甲行驶至乙用5小时。
7.根据条件4还能知道从乙出行驶至第6小时出的距离是40，所以船速就是40+8=48
8.根据条件5，6，7，可算出距离为（48+8）×5=280

顺便说下，为什么不可能在第4小时出返回，因为这样的话，前6和后6之差将等于前4和后4之差，不符合题意。

huangchen

其实条件3，4，5从严格意义上来说也可算是用到方程了。。。

clampchen

这种题应该让孩子先学会转换为数学的标准化陈述.

"第一个4小时比第二个4小时多行了48千米"
转换为
0点到4点经过的路程  比  4点到8点经过的路程 多  48千米

大部分小孩是被这种题目的文字搞糊涂的.

Manddy

说下我的算术解法思路

假设：每个单程都是匀速，从甲到乙的速度v1大于从乙到甲的速度v2。我这里的“速度”就是船本身的速度和水速的合成了，因为不需要区分这二者。解题关键在于如何理解48和80这两个路程差。

因为v1大于v2，从甲到乙的时间t1必然小于6小时，从而前6小时包含了部分乙回甲的路程。另外路程差80完全来自于甲到乙之前这段时间，由此可知： t1必然大于4小时，否则前两个4小时的路程差也应该是80。

因为t1大于4小时，那么在第二个4小时的起始阶段中就包含了一段甲到乙的路程，假设这段路程用时t3。这样我们可以把甲到乙这段路程分为3段：从出发到t3、从t3到4小时、从4到4+t3，同时这也把总路程差80分为了3段。在前两个4小时的对比中，从出发到t3和从4到4+t3速度时间均相等，不产生路程差，故48完全来自从t3到4小时这段，因此在2个6小时的对比中，从出发到t3和从4到4+t3两段产生的路程差就是80-48=32，又因为两段时间速度都相等，每段路程差都是32/2=16

现在可知：以v1和v2各走4小时，路程差是16+48=64，所以v1-v2=64/4=16。至此，原题转化为【一艘船顺流而下，从甲到乙再回到甲，一共用12小时。已知两段单程速度差为16千米/小时，第一个6小时比第二个6小时多行80千米，那么甲乙相距多少千米？】

这就容易很多了。如果以v1和v2各走6小时，路程差应该是16*6=96，现在只有80，那就是因为6小时内某段时间速度只有v2，这段时间是（96-80）/16=1小时。这样就知道甲到乙5小时，乙到甲7小时。那么前6小时路程完全以v2来走就需要7+1=8小时，而现在只走了6小时，路程差80就需要2小时来填满，于是v2=80/(8-6)=40，甲乙单程路程就是40*7=280

公木山

clampchen 发表于 2017-8-9 21:35
这种题应该让孩子先学会转换为数学的标准化陈述.

"第一个4小时比第二个4小时多行了48千米"

题目里这种好多的。
看懂题目是一个技术活。

hearts

乒呤乓啷气 发表于 2017-8-10 00:17
这里说什么五年级解二元二次方程是标配啥的有点信口开河了，解方程的技巧需要在不断练习中提高，有些算术方 ...

我觉得大家讨论算术，讨论方程已经偏了。

其实这理论上不算一道数学题，锻炼的数学思维有限。。

这更像一道物理题。

建模，求解是几乎绝大多数物理学家看到问题的第一反应。

理解半天什么是48，什么是80，为何tv=80，为何(8-t)v=48, 首先你已经把线性系统叠加的概念融合进去了，距离差就是2倍水流的速度，这其实是一个线性叠加的过程。如果教小朋友直接这样思考，其实是让他们背套路。。他们真的能完全理解为何2倍水流的速度吗？

如果建模列公式，

假设水流v0，船速v，线性叠加，取得时候速度v+v0, 回来的时候速度v-v0, 建模

(v+v0)*t + (v-v0)*(6-t) - (v-v0)*6 = 80 => 2*v0*t = 40
(v+v0)*4 - (v+v0)*(t-4) - (v-v0)*(8-t) = 48 => 2*v0*(8-t) = 24

很容易推导出 vt=80  (8-t)v=48

然后再反过来去理解背后的算术（套路)。以后遇到这种题直接用算术法解就好了。

突然遇到别的题，算术想不出来，就先建模找规律，然后再去理解规律。

我是这么想的。

iEVER

hearts 发表于 2017-8-10 08:49
我觉得大家讨论算术，讨论方程已经偏了。

其实这理论上不算一道数学题，锻炼的数学思维有限。。

48，80我发现不是很难理解啊，我也没上过机构的行程课，也不是学数学出生的，没建过模，稍微思考一下，纸上比划一下就能得出的啊。还是通俗易懂的吧。

hearts

iEVER 发表于 2017-8-10 09:12
48，80我发现不是很难理解啊，我也没上过机构的行程课，也不是学数学出生的，没建过模，稍微思考一下，纸 ...

顺水用时t和逆水用时t，相差80km，可以慢慢分析出来。但怎么就变2倍水流速度了？还不是 (v+v0)t - (v-v0)t。

这是个线性系统，速度可以叠加。这个知识需要建模才能真正理解。

iEVER

hearts 发表于 2017-8-10 09:20
顺水用时t和逆水用时t，相差80km，可以慢慢分析出来。但怎么就变2倍水流速度了？还不是 (v+v0)t - (v-v0) ...

啊，那不是一进一出2倍的事吗，不要建模的吧。

hearts

iEVER 发表于 2017-8-10 09:27
啊，那不是一进一出2倍的事吗，不要建模的吧。

好吧，总感觉这样理解不是很严谨。可能这就属于奥数套路吧。

既不是严谨的数学，也不是严谨的物理。只是理解背后的道理。

iEVER

hearts 发表于 2017-8-10 09:32
好吧，总感觉这样理解不是很严谨。可能这就属于奥数套路吧。

既不是严谨的数学，也不是严谨的物理。只 ...

我也没学过奥数，惭愧的很。以后要向你们专业人士好好学习，有机会请多多分享。谢谢。

hearts

iEVER 发表于 2017-8-10 09:38
我也没学过奥数，惭愧的很。以后要向你们专业人事好好学习，有机会请多多分享。谢谢。

我是第一次接触小学奥数题。。娃今年刚上1年级。你看我之前的解法。。我第一反应根本就没反应到水速还能叠加（题目没说清楚），我只假设去v1，回来v2，越解越复杂，当时是实在想不出还能有什么非方程的解法。

hearts

iEVER 发表于 2017-8-10 09:38
我也没学过奥数，惭愧的很。以后要向你们专业人事好好学习，有机会请多多分享。谢谢。

我只是觉得，小朋友自己能这样分析出来吗？一进一出是你学过物理，学过线性系统，自然而然觉得是对的，小朋友真的知道吗？让他们直接分析，应该是分析不出来吧（除非做过类似的套路题），所以这种题型其实就是套路啊。

真的要教，列公式教不是更严谨，然后再去思考背后的数学/物理道理。会列公式了，新题型也会做了。

直接去思考数学/物理道理，道理是能想到一些，并不能帮你解题啊。并且如果小朋友想不出来，你直接教他算术法/或者背后的道理双倍水速什么的，换个题型还会解吗？

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我只是在思考，这种题该怎样教小朋友？让他们自己一个人想，可能能想出来也可能很久也想不出来，好呢，还是教他们列方程好呢，还是教他们这种题应该怎样思考（其实就是套路，直接往水速来回不同上思考）好呢。

iEVER

hearts 发表于 2017-8-10 09:48
我只是觉得，小朋友自己能这样分析出来吗？一进一出是你学过物理，学过线性系统，自然而然觉得是对的， ...

行船问题，是默认顺水速度等于静水+水速，逆水速度=静水-水速。这个好象我们小时候也学过的吧，这个肯定没有难度的呀。然后相反的方向，肯定就是2倍水速的问题啊，这个很容易理解了。题目应该把匀速这个要素陈述一下的。

我不知道这种题，机构是怎么教的，真正套路怎样解法我也不知道。我完全是靠小时候学过的知识来做的。目前也只是听乒乓大的奥数基础课程，听下来感悟最深的是，遇题多思考都可以解决。课程里很多难题，有的我连题都看不懂，乒乓大的解题思路常常给人柳暗花明又一村的感觉，真的非常给人启发，让我觉得，只要多思考，没有什么想不到的。像这道行船题，放在以前，我可能2分钟想不出就放弃了，但是上了乒乓大的课，发现比这个难的题多得是，只要好好想，都能解出来，我再试试，结果就在第三分钟解出来了啊。

所以，多思考是关键，我觉得学习数学还是要多培养思考的习惯，不要轻易放弃。而且这个习惯是终身有益的，真的非常感谢乒乓大给学生的启示。我不是做广告，是真的感悟。

公木山

hearts 发表于 2017-8-10 09:48
我只是觉得，小朋友自己能这样分析出来吗？一进一出是你学过物理，学过线性系统，自然而然觉得是对的， ...

讲讲自己的体会。
首先这是一个小学生的题目，不是非常严谨的物理，所以很多细节被忽略了。所以如果不熟悉小学生奥数的出题方法，可能对此一下子不能理解或者接受。
其次有一些背景知识的，比如速度的叠加。这种肯定是需要先讲解的。
第三，关注相同变量下的差异，发现差异产生的原因，然后寻求答案。如果这是套路，那么这就是套路
建模确实是数学、物理中最重要的工具，但是这种类型的问题提供了一个算术的方式可以求解，目的也是寻求观察和分析的能力培养。
我估计这种问题上，物理背景和数学背景、或者工程背景的，存在差异，其实很正常的。
说的稍微远一点，数学在不同人眼里应该也是不同的。当初德国大学还有排斥应用数学的。而物理学家、力学家、计算机还有其他科学与数学的关系有着很大的差距。就像原来有个段子，讲物理是应用数学，化学是应用物理一样。段子是段子，只是说明了差异。
回头再讲学习的目的，如果知道如何观察和分析问题是一个目的，那么我觉得这些训练应该还是有帮助的。

peachgao

用柳卡图也可以，可以找到两组相似三角形来体现80，48这些条件，最后化简也可得到一个一元一次方程。
   2S[2-240/（S-40）]/[4+2-240/（S-40）]=2（S-40）/3-48

evaba

跟着大神学奥数

josh

这题目最大的硬伤就是逆顺水流对船 速的影响，所以有些所谓的奥数应该题最好少出，但出你要学奥数就得接受这不靠谱的假设，那也没话说

whitestone_wu

没有看前面的解答，我提供下我的方法，也许不是特别简洁。
设从甲到乙顺水阶段，用时为t。
那么有等式：
80/2t=48/[2（8-t）]   //等式两边都是水速
t=5
于是得到顺水阶段用时为5，逆水阶段用时12-5=7，水速为80/10=8
逆水比顺水多用两小时，船相对于水逆水阶段比顺水阶段多行驶了8*12=96，于是船本身速度为96/2=48
于是距离为（48+8）*5=280

令狐777

公木山 发表于 2017-8-9 19:20
解释一下。忽略细节，只讲重点。
8-t这些时间产生了48的差距，
t产生了80的差距

确实是个好题目，刚刚在飞机上闲着没事想到了这个方法。本质上是个比例问题，通过比例的变化算出转折点的时间。

whitestone_wu

我对这题的看法：
如果允许用方程，那么只要看出来48和80的路程差都是由于水速导致的。而水速全过程保持不变，由此列出一元一次方程。这题就破解了。
如果不允许使用方程，要么进行很详细的分段讨论，这题也能做出来，平时练习可以，但是考试或比赛就不行了；要么就是用套路，我记得这类题目是有一种作图的解法的，这种套路小学生同样不可能在考试或比赛时自创，那也并不比学个方程更有逼格。
如果是教孩子的话，可以先让他自己想，让他用很详细的分段讨论，花很长时间也无所谓，然后教给他非方程奥数套路，再教给他方程奥数套路。不过我估计学过方程之后，应该也不会去记非方程的奥数套路了。

whitestone_wu

我看了一圈，只有27楼的方法能一眼看懂，因为本质上跟我71楼的方法是一样的。
其他的方法也都很有价值，不过因为不是自己的思路，看起来就有点累了。这确实是一道挺典型的奥数题。

令狐777

这个问题充分说明了我还有很多思维盲点，看来鸡娃的同时还得先鸡自己，多做题防止老年痴呆症

公木山

令狐777 发表于 2017-8-10 16:06
这个问题充分说明了我还有很多思维盲点，看来鸡娃的同时还得先鸡自己，多做题防止老年痴呆症

哈哈，抟气致柔，能如婴儿？

教奥数，还是要回到像小盆友那样思考。

iEVER

定性的分析固然重要，定量的严格的数学推导更不能少，这才是数学的本质。

孩子们要学习的太多了，不能满足更不能追求婴儿般简单的思维，不能固步自封。这大概就是境界吧，需要好好提高了。

iEVER

令狐777 发表于 2017-8-10 16:06
这个问题充分说明了我还有很多思维盲点，看来鸡娃的同时还得先鸡自己，多做题防止老年痴呆症

我现在发现很多奥数题确实可以投机取巧，耍小聪明，特别是小奥竞赛都是填空题，不要严格推导过程，知道套路脑子活络一点猜都能猜到。但是这真的对小朋友将来学习初中数学无益。还是花时间好好学习经典数学，才是正道，将来才有提高，多刷奥数题真的没有必要。奥数知识点掌握了，举一反三就可以了。

这是我的体会。

令狐777

iEVER 发表于 2017-8-10 17:15
我现在发现很多奥数题确实可以投机取巧，耍小聪明，特别是小奥竞赛都是填空题，不要严格推导过程，知道套 ...

循序渐进吧，小学阶段让孩子撒开了胡思乱想的时间很宝贵，工具以后有的是时间学。

Virginiayong

看了楼主的其它帖子，翻到这篇来学习下。机构里现在都是直接背公式教套路，所以学得出来的少，所以我退了，自己学。

公木山

Virginiayong 发表于 2017-9-11 15:15
看了楼主的其它帖子，翻到这篇来学习下。机构里现在都是直接背公式教套路，所以学得出来的少，所以我退了， ...

数学中有很多套路的，比如我们熟悉的二元一次方程的解，三次方程的解，都是套路。

我们其实不能简单的反对套路。因为套路的形成有着其背景，也是最有效率的方法。

我们需要反对的是简单的背套路和公式。

反过来，我们需要了解的是套路产生的背景，是怎么样的问题。对于这个问题，掌握套路怎么被推导出来的。其实这也是最基础的方法，经过千锤百炼，极具代表性。（）就像欧几里得证明素数有无限个这种方法，历经千年而不朽。）
同时也要从问题出发，学会如何思考和剖析问题。
最后玄乎的可能是所谓的数感，那其实就不在这个讨论范围之内了

Virginiayong

公木山 发表于 2017-9-11 16:04
数学中有很多套路的，比如我们熟悉的二元一次方程的解，三次方程的解，都是套路。

我们其实不能简单的 ...

概括一句，就是知其所以然

nerolilemon

iEVER 发表于 2017-8-10 17:15
我现在发现很多奥数题确实可以投机取巧，耍小聪明，特别是小奥竞赛都是填空题，不要严格推导过程，知道套 ...

投机取巧：顺流时间介于4和6之间，必然是5，逆流时间7.....
花时间、塌下心，做好经典数学，建模推导才能解决日后的更加复杂问题。