本帖最后由 满爸 于 2017-9-24 11:57 编辑
本帖不讨论小学要不要提前学方程（组）、提前学好不好，而是就“家长怎么教”谈一谈自己的思路。
网上看了下人教、北师大、沪教版数学教材电子版，好的方面是对方程求解手段，如合并同类项、移项等原理基于已学知识（运算律、等式的性质等）给出了解释，知识体系连贯性有了保证。这方面比分数、有理数的教材内容做得好多了。不足之处：1 对“解方程”、“方程的解”、“同解方程”、”同解变形“这几个概念强调得不够，解方程似乎只要得到”x=a"就万事大吉，到出现分式方程后很容易犯增根失根的错误。2. 二元一次和三元一次方程组的解法，直接引入矩阵初等行变换、阶梯形和高斯消元法就好了，这虽然是大学线性代数的内容，但放到初中讲完全没问题，因为学完解一元一次方程，三种初等行变换已经学了两种。剩下一个行变换：交换两个方程的位置，对小学生来说都毫无难度。
下面说说我的思路：
1. 我理想中的学习一次方程（组）的预备知识是分数（求解ax=b需要在方程两边同乘1/a）、代数概念启蒙、数的运算律和等式性质。这几件事也是个大话题，本帖就先略过了，假定已经掌握了这些知识，进入方程的学习。
2.学习教材，我认为义务教育课本适合大多数家庭。
3. 首先肯定是学一元一次方程。在一元一次方程学习伊始就要讲清楚“解方程”、“方程的解”的概念。以一元一次方程为例，解方程不是得到式子“x=a"就ok了，而是”求出使得方程两边相等的所有可能的数x“。方程的解是使得方程两边相等的数x。
4. 一元一次方程求解技术（合并同类项、移项、去括号、去分母、两边同乘非0数）的原理讲解要特别重视。除了要讲这些技术的来源，也就是数的运算律和等式性质（义务教育课本上都做了讲解），更重要的是引入”同解“的概念。
比如方程2=8-3x，经过移项（3x=8-2)、合并同类项(3x=6)、两边同乘1/3得到x=2。逻辑思维好的小朋友可能要问了，经过这么多步骤，方程的形态发生了很大变化，怎么知道最后x=2一定是原方程2=8-3x的解？的确，表面上看我们没法确定x=2到底是不是原方程的解，必须要代回原方程验证。每次求解完了都要代回验证挺烦人的，为了省去验证步骤，那就要引入”同解“的概念。简单说，两个方程有相同的解，就是同解方程。详细来说：如果方程A的每一个解也是方程B的解且方程B的每一个解也都是方程A的解，方程A、B就是同解方程。如果求解过程中对方程做的变形能保证前后是同解方程，那就是一个”同解变形“。求解过程中每次变形都是同解变形，才可以省去代回验证的步骤。幸运的是，数的运算律和整式的性质保证了合并同类项、移项、去括号、去分母、两边同乘非0数这些都是同解变形，我们可以放心地运用这些技术化简方程，直到得到x=a这样的式子，同解变形告诉我们，这一定就是原方程的解。
强调”同解“概念不仅具有逻辑上严谨的意义，对后续学习分式方程也有很大帮助。比如(x-3)/(x-2)=1/(2-x)，如果用两边同乘(x-2)来去分母，这一步就不是同解变形。因为变形后的方程x-3=-1的解2并不是原方程的解，从而出现了”增根“。增根失根也是中学代数题一个容易失分的点
5. 在引入方程组的定义后，首先把一元一次方程中”解方程“、”方程的解“、”同解方程“的概念拓展为”解方程组“、”方程组的解“、”同解方程组“。然后直截了当引入基于初等行变换的高斯消元法就好了。线性代数里的初等行变换是基于矩阵来描述的，我们可以改用方程来描述而不必引入矩阵的概念：
1）某个方程两边同乘一个非零数c
2）把某个方程两边同乘任意数c，然后加到另一个方程两边
3）互换方程组中两个方程的位置
一元一次方程解法中其实已经包括了初等行变换中的1) 2)，互换两个方程位置显然是同解变换，因此初等行变换三个操作全部是同解变形。如果我们能构造一种算法，只用这三种变换求解方程组，那么最后得到的解一定和原方程同解，这就是著名的高斯消元法。我的看法是跳过二元一次方程组，直接上三元一次方程组。因为三元一次方程组更容易看出高斯消元法背后的思想——将方程组化为阶梯型（二元一次方程组的”阶梯“不明显），最后一个方程必为ax=b形式的一元一次方程，解出后依次反向代入前面的方程，通过N个一元一次方程解出整个N元一次方程组。举个栗子：
x + y + z = 23 ①
x - y + 3z = 19 ②
2x + y - z = 20 ③
首先消去②、③中的x：-1*①+②、-2*①+③
x + y + z = 23 ①
- 2y + 2z = -4 ②
- y - 3z = -26 ③
接着消去方程③中的y：-1/2*②+③
x + y + z = 23 ①
- 2y + 2z = -4 ②
- 4z = -24 ③
这样就构造出了阶梯型，先通过方程③求解出z=6，代入②求解出y=8，然后y、z代入①求解出x=9。当然，教小朋友的时候可以反过来教，先展示阶梯型长什么样，问问他面对阶梯型如何求解方程组。然后启发他怎么通过行变换实现阶梯型。直接基于初等行变换教高斯消元法的好处：1. 高斯消元法是一种算法，算法的一个特征是：不用多想，只要照着步骤做就一定能解出来，对普娃来说可能还减轻了思考的负担。 2. 方便与大学的线性代数课程衔接
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发表于 2017-9-24 11:57
楼主
:
略尴尬
