(测试时间90分钟,满分120分)
一、填空题(本大题共14题,每题3分,满分42分)
1.化简: =_________.
2. 如果 在实数范围内有意义,那么 的取值范围是 .
3.分母有理化: =___________.
4.方程 的根是_______________.
5.在实数范围内分解因式: =_________________.
6.如果 ,那么 =__________.
7.如果正比例函数中, 的值随自变量 的增大而减小,请你写出一个符合这个要求的正比例函数___________.
8.图像经过点(3,1)的反比例函数解析式是 .
9.把50米长的铅丝,折成一个矩形模型,如果矩形的一边长为 米,那么另一边长为
米(用 的代数式表示).
10.在△ABC中,如果AB=5,BC=12,AC=13,那么由此可以推出∠B=90°,这一推理的主要依据是:__________________.
11.在△ABC中,∠C = 90°,AB = 6,BC = 3,那么∠B = 度.
12.如果一个直角三角形斜边上的中线长5cm,斜边上的高长4cm,那么这个直角三角形的面积是_________cm2.
13.到定点O的距离等于2cm的点的轨迹是
.
14.如图,有一块四边形的绿地,其中AB=20米,BC=15米,
CD=14米,AD=25米,且∠B=90°,那么这块绿地的
面积= 米2.
二、选择题(本大题共4题,每题3分,满分12分)
15.下列二次根式是最简二次根式的是…………………………………………………( )
(A) ; (B) ; (C) ; (D) .
16.下列一元二次方程中,有一个根为2的方程是………………………………………( )
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
17.下列说法正确的是……………………………………………………………………( )
(A)面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成正比例;
(B)面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成反比例;
(C)周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成正比例;
(D)周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成反比例.
18.下列说法中,正确的是………………………………………………………………( )
(A)每个命题都有逆命题; (B)每个定理都有逆定理;
(C)真命题的逆命题都是真命题; (D)假命题的逆命题都是假命题.
三、(本大题共5题,每题6分,满分30分)
19. 计算: . 20. 解方程: .
21.关于 的方程 (其中m是实数)一定有实数根吗?为什么?
22.如图,在直角坐标平面内,射线a和 b分别表示A、B两种型号的货船在匀速行驶中的路程S(单位:百米)与行驶时间t(单位:分)之间的关系.根据图中的信息填空:
(1)A型货船行驶400米需要 分钟,
B型货船行驶200米需要 分钟;
(2)A型货船行驶400米时,B型货船行
驶 米;
(3)B型货船行驶4分钟时,A型货船行
驶 米;
(4)A型货船行驶的速度是 米/分钟,
B型货船行驶的速度是 米/分钟.
23.已知:如图,点C在线段AB上,CD⊥AB,CD=CA,点E在CD上,点F、G分别是BD、AE的中点,CG=CF.
求证:CE=CB.
四、(本大题共2题,每题8分,满分16分)
24.某商品每件的成本价为400元,零售价比成本价高出50%,由于销路不畅,连续两次降价后每件仍可赚86元,如果每次降价的百分率相同.求每次降价的百分率.
25.在直角坐标系 中,反比例函数 图像上的点A、B的坐标分别为(2,m)、
(n,2),点C在x轴上,且△ABC为等腰三角形,求点C的坐标.
五、(本大题共2题,每题的第(1)小题均为6分,第(2)小题均为4分,满分20分)
26.在△ABC中,CD⊥AB,∠BCD=2∠ACD,垂足为点D.
(1) 如果∠C=90?,求证:BD=3AD;
(2) 如果BD=3AD,求证:∠C=90?.
27.如图,在△ABC中,点D是BC的中点,DE⊥AD,∠EAD=∠BAD.
(1)
线段CE、AE、AB之间具有怎样的数量关系?并证明你所得到的结论;
(2) 当∠BAC=90?,AB=8,AD=5时,求线段CE的长.
静安区2010年第一学期期中八年级数学试卷答案及评分标准
一、填空题(本大题共14题,每题3分,满分42分)
1. ; 2. x≥–2; 3. +1; 4. 0或2 ; 5.(x–3+ )(x–3– );
6. 6 ; 7. y=kx的形式且k<0; 8. ; 9. 25–a; 10. 勾股定理逆定理;
11. 60°; 12. 20 ; 13. 以点O为圆心2cm为半径的圆; 14. 318;
二、选择题(本大题共4题,每题3分,满分12分)
15.B; 16.D; 17.B; 18.A.
三、(本大题共5题,每题6分,满分30分)
19.解:原式= – + – ……………………………………………………(4分)
=–3 –9.………………………………………………………………(2分)
20. 解: ,……………………………………………………………(1分)
,…………………………………………………(1分)
∴ 或 ,……………………………………………………(2分)
∴x1=3,x2=1.…………………………………………………………………(2分)
21. 解: △=(m–2)2–4(–2m) ………………………………………………………(2分)
=m2–4m+4+8m =m2+4m+4 =(m+2)2. ……………………………………(2分)
∵ m是实数,∴(m+2)2≥0. ……………………………………………(1分)
即△≥0.∴ 此方程一定有实数根. ………………………………………(1分)
22.(1)2 , 4; (2)100 ; (3)800; (4)200 , 50. ………………(每个答案1分)
23. 证明: ∵CD⊥AB,∴∠ACE=∠DCB=90?.∵点F、G分别是BD、AE的中点,
∴CG= , CF= (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半). …………(2分)
∵CG=CF, ∴AE=BD. ………………………………………………………………(1分)
在Rt△ACE和Rt△DCB中, …………………………………………(1分)
∴Rt△ACE≌Rt△DCB (H.L) . ……………………………………………………(1分)
∴CE=CB. …………………………………………………………………………(1分)
四、(本大题共2题,每题8分,满分16分)
24.解:设每次降价的百分率为x.……………………………………………………(1分)
由题意得 .…………………………………(3分)
化简,得 , ∴ ,………………………(2分)
(不合题意,舍去). ………………………………(1分)
答:每次降价的百分率为10%.……………………………………………………(1分)
25. 解: ∵ 点A(2,m)、B(n,2)在反比例函数 图像上,
∴A(2,4)、B(4,2).………………………………………………………(2分)
设点C坐标为( x , 0).∵ △ABC为等腰三角形,
∴ ①当BC = AB时,∴ ,………………(1分)
解得 , …………………………………………………(1分)
∴C点坐标为(2, 0)或(6,0).……………………………………………(1分)
但当点C为(6,0)时,不能构成三角形,舍去.……………………(1分)
② 当AC = BC时, ∴ ,
解得 , ∴C点坐标为( 0, 0) …………………………………(1分)
③ 当AC = AB时, ,∴ ,
∵△< 0 ,∴方程无解. ………………………………………………(1分)
∴满足条件的C点坐标为( 0, 0)或(2, 0). (注:出现第一个方程给1分.)
五、(本大题共2题,每题10分,满分20分)
26.(1)证明:∵∠C=90?,∠BCD = 2∠ACD,
∴∠ACD=30?,∠BCD = 60?.…………………………………………………(1分)
∴ ∠B =30?(直角三角形的两个锐角互余).………………………………(1分)
∴ (直角三角形中,30度所对的直角边等于斜边的一半)…………………………………………………………………………(2分)
∴ ,即BD = 3AD.………………………………………………(2分)
(2)证明:作∠BDC的平分线CM,交AB于M,过点M作MH⊥BC于点H.(1分)
∵∠BCD=2∠ACD,∴∠ACD=∠DCM=∠BCM= ∠BCD.
∵CD⊥AB,∴∠CAD=∠CDM=90?.
∵CD=CD,∴△ACD≌△MCD.∴AD=DM.
∵BD = 3AD,∴DM+BM=3DM,
∴DM= BM.……………………………(1分)
∴MH=DM= BM (角平分线上的点到角的两边距
离相等).
∴∠B=30?(直角三角形中,如果直角边等于斜边的一半,
那么直角边所对的角为30度).……………………………………………(1分)
∴ ∠BCD =90?–∠B=60?,∴∠ACD =30?,∴∠ACB=90?.……………(1分)
(2)证法二:取AB的中点M,联结CM,过M点作MH⊥BC于点H.…………(1分)
∵BD = 3AD,∴ AB = 4 AD.∵M是AB的中点,∴AB=2AM,∴AM=2AD.
即AD=DM= AM= BM.
∵ CD⊥AB,∴ AC=CM (线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等) .
∴∠ACD =∠MCD.∵∠BCD = 2∠ACD,∴∠BCD = 2∠MCD.
∵∠BCD =∠MCD+∠MCB,∴∠MCD=∠MCB.………………………………(1分)
∴ DM=MH= BM(角平分线上的点到角的两边距离相等). ∴∠B=30?(直角三角形中,如果直角边等于斜边的一半,那么直角边所对的角为30度).…………………(1分)
∴ ∠BCD =60?,∴ ∠ACD =30?,∴∠ACB=90?.……………………………(1分)
27.解: (1)AB = AE + CE.……………………………………………………………(1分)
证明如下:延长ED交AB于点F.…………………………………………………(1分)
∵ DE⊥AD,∠EAD=∠BAD.
∴∠AFE=∠AEF(直角三角形的两个锐角互余).
∴AF=AE.……………………………(1分)
∴DF=DE.…………………………… (1分)
在△BFD和△CED中,
∴ △BFD≌△CED.……………………………………………………………(1分)
∴∠B=∠DCE, BF=CE.…………………………………………………………(1分)
∴ AB = AF + BF = AE + CE .
(2)∵ ∠BAC=90?, 点D是BC的中点,
∴ BC = 2AD = 10 (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).
∴ AC = =6 (勾股定理) .………………………(1分)
设CE= ,那么AF=AE= .
∵∠B=∠DCE,∴CE//AB,∴∠ACE =180?–∠BAC=180?–90?=90?.……(1分)
∴ (勾股定理),∴ .……………………(1分)
∴CE= .……………………………………………………………………(1分)
注:第23、26、27题,如用本学期新学的定理需注明,否则过半数不写每题扣1分.