（测试时间90分钟，满分120分）
一、填空题（本大题共14题，每题3分，满分42分）
1．化简： =_________．
2. 如果 在实数范围内有意义，那么 的取值范围是 .
3．分母有理化： =___________.
4．方程 的根是_______________．
5．在实数范围内分解因式： =_________________.
6．如果 ，那么 =__________．
7．如果正比例函数中， 的值随自变量 的增大而减小，请你写出一个符合这个要求的正比例函数___________．
8．图像经过点（3，1）的反比例函数解析式是 ．
9．把50米长的铅丝，折成一个矩形模型，如果矩形的一边长为 米，那么另一边长为
米（用 的代数式表示）．
10．在△ABC中，如果AB=5，BC=12，AC=13，那么由此可以推出∠B=90°，这一推理的主要依据是：__________________.
11．在△ABC中，∠C = 90°，AB = 6，BC = 3，那么∠B = 度．
12．如果一个直角三角形斜边上的中线长5cm，斜边上的高长4cm，那么这个直角三角形的面积是_________cm2．
13．到定点O的距离等于2cm的点的轨迹是
.
14．如图，有一块四边形的绿地，其中AB=20米，BC=15米，
CD=14米，AD=25米，且∠B=90°,那么这块绿地的
面积= 米2.
二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）
15．下列二次根式是最简二次根式的是…………………………………………………（ ）
（A） ; （B） ; （C） ; （D） .
16．下列一元二次方程中,有一个根为2的方程是………………………………………（ ）
（A） ； （B） ；
（C） ； （D） ．
17．下列说法正确的是……………………………………………………………………（ ）
（A）面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成正比例；
（B）面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成反比例；
（C）周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成正比例；
（D）周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成反比例．
18．下列说法中，正确的是………………………………………………………………（ ）
（A）每个命题都有逆命题; （B）每个定理都有逆定理;
（C）真命题的逆命题都是真命题; （D）假命题的逆命题都是假命题．
三、（本大题共5题，每题6分，满分30分）
19. 计算： ． 20. 解方程： ．
21．关于 的方程 （其中m是实数）一定有实数根吗？为什么？
22．如图，在直角坐标平面内，射线a和 b分别表示A、B两种型号的货船在匀速行驶中的路程S（单位：百米）与行驶时间t（单位：分）之间的关系．根据图中的信息填空：
（1）A型货船行驶400米需要 分钟，
B型货船行驶200米需要 分钟；
（2）A型货船行驶400米时，B型货船行
驶 米；
（3）B型货船行驶4分钟时，A型货船行
驶 米；
（4）A型货船行驶的速度是 米/分钟，
B型货船行驶的速度是 米/分钟．
23．已知：如图，点C在线段AB上，CD⊥AB，CD=CA，点E在CD上，点F、G分别是BD、AE的中点，CG=CF．
求证：CE=CB．
四、（本大题共2题，每题8分，满分16分）
24．某商品每件的成本价为400元，零售价比成本价高出50%，由于销路不畅，连续两次降价后每件仍可赚86元，如果每次降价的百分率相同．求每次降价的百分率．
25．在直角坐标系 中，反比例函数 图像上的点A、B的坐标分别为（2，m）、
（n，2），点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，求点C的坐标.
五、（本大题共2题，每题的第（1）小题均为6分，第（2）小题均为4分，满分20分）
26．在△ABC中，CD⊥AB，∠BCD=2∠ACD，垂足为点D．
(1) 如果∠C=90?，求证：BD=3AD；
(2) 如果BD=3AD，求证：∠C=90?．
27．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AD，∠EAD=∠BAD．
(1)
线段CE、AE、AB之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论；
(2) 当∠BAC=90?，AB=8，AD=5时，求线段CE的长．
静安区2010年第一学期期中八年级数学试卷答案及评分标准
一、填空题（本大题共14题，每题3分，满分42分）
1. ； 2. x≥–2； 3. +1； 4. 0或2 ； 5.（x–3+ ）（x–3– ）；
6. 6 ； 7. y=kx的形式且k＜0； 8. ； 9. 25–a； 10. 勾股定理逆定理；
11. 60°； 12. 20 ； 13. 以点O为圆心2cm为半径的圆； 14. 318；
二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）
15.B； 16.D； 17.B； 18.A．
三、（本大题共5题，每题6分，满分30分）
19．解：原式= – + – ……………………………………………………（4分）
=–3 –9．………………………………………………………………（2分）
20. 解： ，……………………………………………………………（1分）
，…………………………………………………（1分）
∴ 或 ，……………………………………………………（2分）
∴x1=3，x2=1．…………………………………………………………………（2分）
21． 解: △=(m–2)2–4(–2m) ………………………………………………………（2分）
=m2–4m+4+8m =m2+4m+4 =(m+2)2． ……………………………………（2分）
∵ m是实数，∴（m+2）2≥0． ……………………………………………（1分）
即△≥0．∴ 此方程一定有实数根. ………………………………………（1分）
22．（1）2 , 4; （2）100 ； （3）800; （4）200 , 50. ………………（每个答案1分）
23. 证明: ∵CD⊥AB，∴∠ACE=∠DCB=90?.∵点F、G分别是BD、AE的中点，
∴CG= , CF= (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半). …………（2分）
∵CG=CF, ∴AE=BD. ………………………………………………………………（1分）
在Rt△ACE和Rt△DCB中, …………………………………………（1分）
∴Rt△ACE≌Rt△DCB (H.L) . ……………………………………………………（1分）
∴CE=CB． …………………………………………………………………………（1分）
四、（本大题共2题，每题8分，满分16分）
24．解：设每次降价的百分率为x．……………………………………………………（1分）
由题意得 ．…………………………………（3分）
化简，得 ， ∴ ，………………………（2分）
(不合题意,舍去)． ………………………………（1分）
答:每次降价的百分率为10%．……………………………………………………（1分）
25. 解： ∵ 点A（2，m）、B（n，2）在反比例函数 图像上，
∴A（2，4）、B（4，2）．………………………………………………………（2分）
设点C坐标为( x , 0)．∵ △ABC为等腰三角形，
∴ ①当BC = AB时，∴ ，………………（1分）
解得 ， …………………………………………………（1分）
∴C点坐标为(2, 0)或(6,0)．……………………………………………（1分）
但当点C为(6,0)时，不能构成三角形，舍去．……………………（1分）
② 当AC = BC时， ∴ ，
解得 ， ∴C点坐标为( 0, 0) …………………………………（1分）
③ 当AC = AB时， ，∴ ，
∵△< 0 ，∴方程无解． ………………………………………………（1分）
∴满足条件的C点坐标为( 0, 0)或(2, 0)． （注：出现第一个方程给1分．）
五、（本大题共2题，每题10分，满分20分）
26．（1）证明：∵∠C=90?，∠BCD = 2∠ACD，
∴∠ACD=30?，∠BCD = 60?．…………………………………………………（1分）
∴ ∠B =30?（直角三角形的两个锐角互余）．………………………………（1分）
∴ （直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半）…………………………………………………………………………（2分）
∴ ，即BD = 3AD．………………………………………………（2分）
（2）证明：作∠BDC的平分线CM，交AB于M，过点M作MH⊥BC于点H．（1分）
∵∠BCD=2∠ACD，∴∠ACD=∠DCM=∠BCM= ∠BCD．
∵CD⊥AB，∴∠CAD=∠CDM=90?．
∵CD=CD，∴△ACD≌△MCD．∴AD=DM．
∵BD = 3AD，∴DM+BM=3DM，
∴DM= BM．……………………………（1分）
∴MH=DM= BM (角平分线上的点到角的两边距
离相等)．
∴∠B=30?(直角三角形中,如果直角边等于斜边的一半,
那么直角边所对的角为30度)．……………………………………………（1分）
∴ ∠BCD =90?–∠B=60?，∴∠ACD =30?，∴∠ACB=90?．……………（1分）
（2）证法二：取AB的中点M，联结CM，过M点作MH⊥BC于点H．…………（1分）
∵BD = 3AD，∴ AB = 4 AD．∵M是AB的中点，∴AB=2AM，∴AM=2AD．
即AD=DM= AM= BM．
∵ CD⊥AB，∴ AC=CM (线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等) ．
∴∠ACD =∠MCD．∵∠BCD = 2∠ACD，∴∠BCD = 2∠MCD．
∵∠BCD =∠MCD+∠MCB，∴∠MCD=∠MCB．………………………………（1分）
∴ DM=MH= BM(角平分线上的点到角的两边距离相等)． ∴∠B=30?(直角三角形中,如果直角边等于斜边的一半,那么直角边所对的角为30度)．…………………（1分）
∴ ∠BCD =60?，∴ ∠ACD =30?，∴∠ACB=90?．……………………………（1分）
27．解: （1）AB = AE + CE．……………………………………………………………（1分）
证明如下：延长ED交AB于点F．…………………………………………………（1分）
∵ DE⊥AD，∠EAD=∠BAD．
∴∠AFE=∠AEF(直角三角形的两个锐角互余)．
∴AF=AE．……………………………（1分）
∴DF=DE．…………………………… (1分)
在△BFD和△CED中，
∴ △BFD≌△CED．……………………………………………………………（1分）
∴∠B=∠DCE, BF=CE．…………………………………………………………(1分)
∴ AB = AF + BF = AE + CE ．
（2）∵ ∠BAC=90?, 点D是BC的中点，
∴ BC = 2AD = 10 (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．
∴ AC = =6 (勾股定理) ．………………………(1分)
设CE= ,那么AF=AE= ．
∵∠B=∠DCE，∴CE//AB，∴∠ACE =180?–∠BAC=180?–90?=90?．……(1分)
∴ (勾股定理)，∴ ．……………………(1分)
∴CE= ．……………………………………………………………………(1分)
注：第23、26、27题，如用本学期新学的定理需注明，否则过半数不写每题扣1分．
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发表于 2012-7-15 10:13
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