3×5的意义？

rainyttdd

angolee 发表于 2017-11-20 17:11
3个5相加 表示5的3倍吧    笔误？

不是笔误。在应用题里就像有人说的,两个都是因数，一辆车上有3人，5辆车共几人。可以写3*5=15也可以写5*3=15都算对

Manddy

whitestone_wu 发表于 2017-11-20 15:36
按照你的逻辑，就是把数学变成了数论，或者说是纯粹数学。我们现在要讨论的问题，实际上就是，在小学低年 ...

我没有讨论“是要用纯粹数学的定义还是有明确实际含义的定义”，我回复你和之前那位家长，强调的都是你们举的例子推不出从数学上区分3*5和5*3的必要性。打个比方，我说你做的红烧肉不好吃，不等于我说红烧肉比糖醋里脊难吃，换个大厨也许就做得好吃了嘛。提到抽象是因为我认为你们举例失败的原因之一就是忽略了数学定义的抽象性。我的原话是“作为数学定义，必须抽象掉实际表象，抓住本质”，这和你理解的“越抽象越好“完全两回事。像“3块钱一斤，买5斤多少钱”这种问题，任何校数课本都只是拿来当引子，而绝不会拿来当定义， 定义是“乘法是对相同数连加的简记”，这个定义虽然初等但也是抽象的：相同数是3还是4，连加了5次还是6次，加的是苹果还是香蕉，加的是个数还是价格、单位是斤还是克、货币是元还是美元等等都不是这个定义要关心的问题。那么请问你强调顺序到底揭示了整数乘法什么样的特性或本质呢？而且我相信，只要一开始抽象，你们举的那些例子中的种种“明确实际含义”就都要消失了，根本给不出一个“有明确实际含义”的定义（你可以给出一个来反驳我）。

至于后两段，我是在说明不区分顺序的定义不存在你说的两个问题，而不是在说明为啥不需要区分顺序，更谈不上“拿不需要区分顺序的定义来说明为啥不需要区分顺序“和循环论证

whitestone_wu

满爸 发表于 2017-11-20 19:49
我没有讨论“是要用纯粹数学的定义还是有明确实际含义的定义”，我回复你和之前那位家长，强调的都是你 ...

按照“乘法是对相同数连加的简记”来做定义。那么在乘法符号的两边，两个数代表的是不同的意义，一个是“相同数”本身，一个是“连加”的次数。既然两个数代表不同的意义，那么自然就有区分。你要说区分揭示了什么特性或本质的话，那么就是符号两边的数字的意义不同。
如果换一种定义，15有两个质因数，3和5，这两个数的意义对等，确实3*5和5*3没有区分的意义。
但是你说的乘法定义，5个3的合，可以记为5*3，也可以记为3*5，等于是用了一个有顺序的定义，却强行又在定义里塞进了没有顺序的要求。
或者我打一个比方，你这个定义相当于把“三角形两边和大于第三边”，这个定理，放到了公理中。这很不自然，也没有必要。

whitestone_wu

公木山 发表于 2017-11-20 17:46
交换律讨论的是一个运算对于运算次序的性质。
从高观下，这个次序本身肯定是有意义的。
在实践中，特别是 ...

我同意你的观点。
如果加法采取序数定义，其实加法也是有顺序的。但是现在小学加法一般采取基数定义，那么本身就没有顺序。

讨论这个问题本来就没有绝对的对错。你非要说小学乘法就不要顺序，也不会导致小学生学不会数学。只要改定义，有没有顺序还不简单，这需要讨论？只是说，在小学低年级的乘法定义中，乘法应该是有顺序的。

公木山

正好回另外一个帖子，看到了维纳的一段自述
A乘B等于B乘A之类的规则，是我迷惑不解。
。。。。
有二件事是我赶到困难的东西，。。。即准确快速的加法乘法运算的技巧。以及对各种算数定律的了解，比如交换律，结合律、分配律为什么是正确的
这个东西不好懂是真的，对维纳这种神童以及后来的天才。

Manddy

whitestone_wu 发表于 2017-11-21 11:08
按照“乘法是对相同数连加的简记”来做定义。那么在乘法符号的两边，两个数代表的是不同的意义，一个是 ...

还是那句话，不是说不区分顺序一定好，区分顺序一定不好，只是帖子看下来没有人给出一个做区分的合理理由，根据奥卡姆剃刀原则，多一事不如少一事。你说“相同数”和“连加次数”意义不同，得出需要区分顺序的结论，跳跃太大，这中间逻辑链条怎么建立，我不懂

【5个3的和，可以记为5*3，也可以记为3*5，等于是用了一个有顺序的定义】这个不认同。数学定义中类似“可以记为xx或xx”的表述不少，函数、导数的记法都有多种，有课本（特别是入门课本）去做刻意区分吗？

糖糖家的小喵喵

我读书时候是 每份3 有5份  现在难道不是了么？

whitestone_wu

满爸 发表于 2017-11-21 13:06
还是那句话，不是说不区分顺序一定好，区分顺序一定不好，只是帖子看下来没有人给出一个做区分的合理理 ...

我也同意这里不存在一定要区分或者不区分。但我认为区分比较好。
原因我已经说过了。
再表述一遍：“乘法是对相同数连加的简记”，这样一个定义，就规定了乘法符号所连接的两个数的意义不同。如果对两个数字哪个在前哪个在后强行要求不做规定，就等于去掉了这一层信息。
（前面我说你想要用纯粹数学定义，是感觉你准备要用因数的定义来定义乘法，那样的定义确实不需要区分顺序）

另外再解释一遍为啥你的定义不自然也不必要。
这里有顺序的定义是指：5个3的和。
强行塞进了没有顺序的要求是指：可以记为5*3，也可以记为3*5。
为什么说是有顺序的定义，前面已经说了，因为两个数意义不同；为什么说是强行塞进去的，因为只要有5个3的和这样一个定义，自然可以推导出5*3和3*5的结果相同，并不需要（在我看来也不应该）放到定义中去。
所以我后面打了一个比方，你相当于把“三角形两边和大于第三边”，这个定理，放到了公理中。

whitestone_wu

公木山 发表于 2017-11-21 12:02
正好回另外一个帖子，看到了维纳的一段自述
A乘B等于B乘A之类的规则，是我迷惑不解。
。。。。

所以说有些神童看起来晚慧，因为他们不容易把成人认为理所当然的事情，当做理所当然的。

如果在乘法定义中规定，每份数和份数不做区分。其实神童仍然会发现不自然的地方（我们现在认为不自然是后来学会的，不是小时候自己发现的），而大部分普娃，就算你做了区分，他们也只是认为是大人无聊的教条。
所以实践中，我也不说不做区分就一定不行。但是要我选，我肯定选有区分的。

Manddy

whitestone_wu 发表于 2017-11-21 13:49
我也同意这里不存在一定要区分或者不区分。但我认为区分比较好。
原因我已经说过了。
再表述一遍：“ ...

【“乘法是对相同数连加的简记”，这样一个定义，就规定了乘法符号所连接的两个数的意义不同。如果对两个数字哪个在前哪个在后强行要求不做规定，就等于去掉了这一层信息。】这两句前后矛盾，既然“乘法是对相同数连加的简记”这样一个定义已经规定了两个数意义不同，又何来不规定顺序导致这一信息被去掉了？你本来就有1个苹果，我不多给你1个苹果，难道会导致你连原有的那一个都没了？你这两句话放一起，反而表明区分顺序的多余和不自然。

【这里有顺序的定义是指：5个3的和。强行塞进了没有顺序的要求是指：可以记为5*3，也可以记为3*5】这句话是循环论证，事先认定了“5个3的和”有顺序之分

BTW 什么作为定理，什么作为公理，没有一定之规。初中平几课本里“三角形两边和大于第三边”几乎（你可以说是两点之间直线段最短的简单推论，从而是定理）就是公理。小学阶段整数分数的运算法则和运算律都是公理，初高中的实数运算法则和运算律也是公理，甚至在学微积分的时候，实数的完备性这种非平凡的结论也被不少教科书作为公理。你觉得很自然是公理的，其他人也许就觉得是非平凡需要证明的，反之亦反之。

whitestone_wu

满爸 发表于 2017-11-21 21:40
【“乘法是对相同数连加的简记”，这样一个定义，就规定了乘法符号所连接的两个数的意义不同。如果对两个 ...

所以，你就理解不了对于“乘法是对相同数连加的简记”，这样一个定义。
要求不区分顺序是附加的要求，而区分顺序反而是蕴含在内自然要求。

这个定义本身，就区分相同数本身，和连加的次数。那么我们用这样一个定义时，要问一下，哪个是相同数本身，哪个是连加的次数，就是自然的要求。你说不做区分，那是强行把两个概念并成了一个概念，并且不做说明。塞了一个苹果给我还不承认。

什么是定义、什么是公理，什么是定理，有明确的区分。你把欧几里得五大公理作为公理，再把“三角形两边和大于第三边”也作为公理就是不符合逻辑的，可以说是错误的。你把“乘法是对相同数连加的简记”作为定义，那么乘法交换律就不能放到定义中去，这也是不符合逻辑的，可以说是错误的。

Manddy

whitestone_wu 发表于 2017-11-22 10:27
所以，你就理解不了对于“乘法是对相同数连加的简记”，这样一个定义。
要求不区分顺序是附加的要求，而 ...

两处偷换概念：1. 把区分相同数和连加偷换为区分顺序，后者根本不是前者的必要条件。2. 把定理和公理没有统一区分偷换为定理和公理没有明确区分。任何一本教科书，其定理和公理当然都有明确区分，但是说各教科书都必须把A当做公理把B当做定理否则就是错误则是信口开河，校数课本的公理和几何原本的公理、希尔伯特几何基础的公理和几何原本的公理显然是不同的。【把欧几里得五大公理作为公理，再把“三角形两边和大于第三边”也作为公理就是不符合逻辑的】这句话说明你该去翻翻校数课本了

whitestone_wu

满爸 发表于 2017-11-22 10:50
两处偷换概念：1. 把区分相同数和连加偷换为区分顺序，后者根本不是前者的必要条件。2. 把定理和公理没有 ...

是，你说得很对，要区分不一定要用顺序区分。要么你规定相同数a连加b次，可以写为a(相同数）*b(次数），或者b（次数）*a（相同数），那这个定义也是一点问题都没有的。只是没看出比区分顺序高明在哪里。如果你觉得这样区分也不好，按顺序区分也不好，那么你来一个能区分，又简洁的方法再说。
我说得很清楚，以“欧几里得五大公理作为公理”，这个前提下，“三角形两边和大于第三边”就只能是定理。如果你搞出一个“三角形两边和大于第三边”是公理，并且另外设几个公理，来替代欧几里得五大公理，理论上当然是可以的。如果哪一本教课书，在把欧几里得五大公理作为公理的前提下，又把“三角形两边和大于第三边”也作为公理。你可以去找出来，如果证明为真，我就写一封信给这个出版社，明确指出其错误，并贴到千帆论坛。
我说你逻辑错误，也是在把“乘法是对相同数连加的简记”作为定义的前提下。

Manddy

whitestone_wu 发表于 2017-11-22 11:08
是，你说得很对，要区分不一定要用顺序区分。要么你规定相同数a连加b次，可以写为a(相同数）*b(次数）， ...

【“乘法是对相同数连加的简记”，这样一个定义，就规定了乘法符号所连接的两个数的意义不同】这是你的原话，你既已承认这个定义已经对两个数做了区分，还要区分什么？再用一次我之前的比喻：你本来就有1个苹果，我不多给你1个苹果，难道会导致你连原有的那一个都没了？

【如果哪一本教课书，在把欧几里得五大公理作为公理的前提下，又把“三角形两边和大于第三边”也作为公理】一会儿说“在把欧几里得五大公理作为公理的前提下”，一会儿又说用另外的公设（顺便纠正一下，你说的那5条是“公设”而不是“公理”）替代五大公设。一会儿说“理论上是可以的”，一会儿又说这样做是逻辑错误，真是令人无语的自相矛盾。你要例子，校数课本就是啊（前四条公设是平凡的，第五公设虽然是非平凡的，但是不采用那就成了非欧几何，想找不把欧几里得五条公设作为前提的平几课本才是比登天还难），那里面多了一条公设：两点之间线段最短。你写不写信我就不care了，不过如果按你的思路把几何原本证明三角形两边和大于第三边的过程写入校数课本，我相信一定会有家长给出版社和jw写信

whitestone_wu

满爸 发表于 2017-11-22 12:13
【“乘法是对相同数连加的简记”，这样一个定义，就规定了乘法符号所连接的两个数的意义不同】这是你的 ...

“乘法是对相同数连加的简记”，这个定义是做了区分啊。但是你说可以记为a*b，也可以记为b*a，就是强行不区分啊。这都理解不了我也不知道该如何跟你对话了。

第二段你是在胡搅蛮缠了。
前提：欧几里得五大公理作为公理。结论：“三角形两边和大于第三边”不能作为公理。
前提：用“三角形两边和大于第三边”作为公理之一（恕我孤陋寡闻没见过）。结论：必须用欧几里得之外的公理体系。
以上两个命题都为真，实际上互为逆否命题，并无矛盾。这都看不懂我就只能摊手了。

另外，课本里面没给证明，不等于就是公理。没有人拿课本里面有没有证明过程来定义公理和定理。
我手上没有初中几何课本。但是我记得，课本里面会在明确给出的命题前面标注“公理”或者“定理”。

whitestone_wu

满爸 发表于 2017-11-22 12:13
【“乘法是对相同数连加的简记”，这样一个定义，就规定了乘法符号所连接的两个数的意义不同】这是你的 ...

我看了一下现在网上的初中电子课本。确实跟以前不一样，没有写明是“公理”还是“定理”。
但也没有看到哪个课本号称自己是按照欧几里得的五大公理来编的。我之前说的在把欧几里得五大公理作为公理的前提下，又把“三角形两边和大于第三边”也作为公理，这个情况就没有发生。
而且在把“两点之间线段最短”当做事实确定下来后（不是公理，是事实），“三角形两边和大于第三边”就变成可以证明的命题。可见课本的编排还是很合理的。

公木山

满爸 发表于 2017-11-22 12:13
【“乘法是对相同数连加的简记”，这样一个定义，就规定了乘法符号所连接的两个数的意义不同】这是你的 ...

是“公设”而不是“公理”
嗯

Manddy

whitestone_wu 发表于 2017-11-22 13:53
我看了一下现在网上的初中电子课本。确实跟以前不一样，没有写明是“公理”还是“定理”。
但也没有看 ...

【“乘法是对相同数连加的简记”，这个定义是做了区分啊。但是你说可以记为a*b，也可以记为b*a，就是强行不区分啊】还是偷换概念的老套路，前一句说的是区分意义，后一句说的是区分顺序，强行把区分顺序当做区分意义的必要条件。之前还明说是“不区分顺序”，现在干脆就含糊其辞“不区分”了

【课本里面没给证明，不等于就是公理。没有人拿课本里面有没有证明过程来定义公理和定理。】一个命题，没给证明就当做真命题，并用于推理其他结论，这不是公理是什么？哪一点不符合公理的定义，就因为没写上“公理”两个字？说到底，你还是在把定理和公理没有明确区分偷换为定理和公理没有统一区分。两点之间线段最短在中小学不是公理，说出去真是让人笑掉大牙。

【也没有看到哪个课本号称自己是按照欧几里得的五大公理来编的】“把三角形两边和大于第三边放到公理中”这句话，从一开始的没有指明前提，到加上前提“把欧几里得五大公理作为公理”，再把这个前提偷换为必须是“号称自己是按照欧几里得的五大公理来编的”。一路偷换概念下来，有意思吗？谁规定必须写上“欧几里得第N公设”或者“本书是按照欧几里得公设编的”几个大字才是把欧几里得公设作为前提？欧几里得五个公设，哪一个在校数课本里不是当做公理在用？校数课本证明过凡直角都相等？证明过直线长度无限？证明过平行公理？证明过给定圆心和半径可以画圆？证明过两点确定一直线？

【以上两个命题都为真，实际上互为逆否命题】第一个命题为真的前提是在你的前提前面加上“只用”，没有这个限定，你凭什么不允许“三角形两边和大于第三边”作为公理？不过加上了“只用”，你偷换概念又要记上一笔，这个命题也成了一句平凡的废话。两个命题也不是逆否命题。“必须用“的否定是“不用或可用可不用”，和第一个命题的前提根本不是一回事。当然给个前提结论就当真命题完全可以，这就是你提出的公理嘛。很可惜有校数课本这个反例

以上，胡搅蛮缠的帽子你还是留着自己戴吧╮(╯_╰)╭

whitestone_wu

满爸 发表于 2017-11-22 18:46
【“乘法是对相同数连加的简记”，这个定义是做了区分啊。但是你说可以记为a*b，也可以记为b*a，就是强 ...

“相同数a连加b次，可以记为a*b，也可以记为b*a。”这是你认为合理的定义是吧？
那么你如何回答以下问题：相同数a连加b次，为什么跟相同数b连加a次，是相同的表示方式？注意：这是你在定义中要求它们相同，而不是由于乘法交换律所以相同。

要求加入“只用”两个字，暴露了你根本不理解何为公理化系统。
公理系统要求独立性。如果你设计一个公理化体系S。其中有一个公理a属于S，而S - {a}可以推出a，那么你这个公理体系S就违反了独立性原则。具体你可以去看希尔伯特《几何基础》，他设计了一个符合欧式几何的公理化体系，并用专门一章来论述这个公理体系的独立性问题。
而你的定义，已经明显违反了独立性原则。

这跟我们初中课本到底有没有用原始的《几何原本》中的公理体系，并没有关系。“三角形两边和大于第三边”只是我打的一个比方， 就算我在一开始用这个比方的时候，没有非常严谨，也不影响我的整体论述。而且归根结底，也并没有哪个课本把“三角形两边和大于第三边”作为公理。

whitestone_wu

我可以再不厌其烦地作一个说明。为什么“相同数a连加b次。可以记为a*b，也可以记为b*a。”这样一个定义里面，后面一句话，是强行增加了不对相同数和连加次数做区分的要求，而不是像你说的那样，只是不区分顺序。

我之前举过一个例子，承认不一定要用顺序来区分两个不同意义的数。“相同数a连加b次。可以记为a(相同数）*b（次数）或者b(次数）*a（相同数）。”
我说个这个定义也是合理的（尽管繁琐，不如直接用顺序来明确不同意义），因为在这样一个定义下，乘法交换律是需要专门引入的，而不是像你的定义里面那样，把它消解了。
在这个定义下，乘法交换律实际上是：
a(相同数）*b(次数）=a(次数）*b（相同数）
而不是a(相同数）*b(次数）=b(次数）*a(相同数）。
前一个公式是乘法交换律，后一个公式是定义直接给出的。
能理解这两个公式的差异，也就能理解为何你的定义中，实际上是消解了乘法交换律，或者可以说是违反了公理系统的独立性要求。

Manddy

whitestone_wu 发表于 2017-11-23 14:52
我可以再不厌其烦地作一个说明。为什么“相同数a连加b次。可以记为a*b，也可以记为b*a。”这样一个定义里面 ...

【相同数a连加b次，为什么跟相同数b连加a次，是相同的表示方式】这个问题我在30楼的回复里说过了，不赘。

你不是不严谨，是发现对自己不利的论据就开始偷换概念，甚至偷换到和之前的观点自相矛盾，我已经多次列举了。现在把公理化体系牵扯进来，又是一次偷换概念和自相矛盾（47楼）：【我们现在要讨论的问题，实际上就是，在小学低年级，刚刚引入乘法的时候，是要用纯粹数学的定义还是有明确实际含义的定义。如果说越抽象越好，那么为啥不直接拿公理化体系来教小学生，直接讲皮亚诺公理好了】。前面口口声声考虑入门小低生，后面又拿“越抽象越好”的公理化体系说事，自己打自己脸

而且，以目前中小学校数知识体系根本无法用公理化体系的要求严格证明乘法交换律等大家熟知的运算律（欢迎你贴出证明来反驳），乘法交换律在中小学校数里只能是公理，现在课本正是这样做的，既然如此，将其单独提出还是整合到别的概念中提出，都不违背独立性。

BTW 试想一下如果想在校数体系内把常见运算律变成定理会有什么后果：1. 你真得要写信给出版社、教材编委会了。 2. 如果他们同意你的意见，那么最起码也要加入皮亚诺公理。加法定义需要用到递归，而递归定义的可行性建立在数学归纳法上。按现有校数体系，数学归纳法是放到高中学的（好像还是选修）。不学皮亚诺公理连加法都学不了。3. 你准备好迎接家长、老师和学生们的声讨吧

whitestone_wu

满爸 发表于 2017-11-23 16:46
【相同数a连加b次，为什么跟相同数b连加a次，是相同的表示方式】这个问题我在30楼的回复里说过了，不赘。 ...

不是我偷换概念，而是本来就是在三个层面上对你的看法进行反驳。
第一个层面，你30楼的回答根本就无法解答“相同数连加”这样一个定义，跟你后面给出两种表示方法之间的矛盾。“相同数连加”这个定义，就是我说的有明确含义的定义（可以直接套用在几块钱一斤的苹果买几斤的问题上），而不是纯粹数学定义。而那个行列的乘法定义，你自己就已经排除了，我懒得看在第几楼。如果你现在想要把这个定义捡回来，那么就又是另外一个话题。
第二个层面，你的定义，实际上把乘法交换律消解了，具体我已经在70楼解释得很清楚了。不再啰嗦。
第三个层面，你的定义，无法在更高层次上满足公理化体系上独立性的要求。也许我们不需要在中小学阶段直接使用严格的公理化概念，但是在初中课本中，毕竟没有出现在把“两点之间线段最短”认定为事实之后，又把“三角形两边和大于第三边”直接作为事实，而是给出了证明（没有丧失公理化体系独立性的要求）。这体现出课本虽然没有严格使用公理化概念，但是仍然可以和公理化系统对接。

越是高的层面，实际上是要求编教材的、教学生的老师，有大局观。可以不把更高要求的知识要求学生，但是自己的思路不能跟更高的要求相矛盾。所以你说什么，要求课本加入皮亚诺公理，或者说要求课本证明乘法交换律（再强调一遍，课本里面不给出证明不等于就是公理），都是无端指责，我从来没提出这样的要求。

Sxybxjxy

歪个楼，还在华山论剑，精神可嘉！……

whitestone_wu

满爸 发表于 2017-11-23 16:46
【相同数a连加b次，为什么跟相同数b连加a次，是相同的表示方式】这个问题我在30楼的回复里说过了，不赘。 ...

另外，避免无谓地争执，我可以退一步（这是为了集中到主要矛盾，而不是我放弃原有立场）。
【乘法交换律在中小学校数里只能是公理，现在课本正是这样做的，既然如此，将其单独提出还是整合到别的概念中提出，都不违背独立性。】
你提出的这个论点。实际上就是承认，在你的这个定义下，乘法交换律不再能被单独提出，而是直接出现在了定义里面。
那么我明确反对这样的做法。我认为，乘法交换律，跟乘法结合律、乘法分配律一样，应该单独提出（可以不给出证明），而不应该直接放到定义中去。
在这个基础上，你可以想想，你是否还坚持自己的观点。或者就算你自己坚持，这样的观点，可以多大程度上，可以被校数课本接受。

springhappy

3*5和5*3的意义不是不同吗？

哪个数字在前，哪个数字在后，有讲究的呀。

我记得小时候老师是这样教的侬。
难道现在改了

springhappy

青青姆妈 发表于 2017-11-14 20:00
我们本学期，二年级上，正好学这个。现在教的是3×5是3个5。

那这样的教法就是：=个？

Manddy

whitestone_wu 发表于 2017-11-23 17:18
另外，避免无谓地争执，我可以退一步（这是为了集中到主要矛盾，而不是我放弃原有立场）。
【乘法交换 ...

【你提出的这个论点。实际上就是承认，在你的这个定义下，乘法交换律不再能被单独提出，而是直接出现在了定义里面】这句话又偷换了概念。我的论点回答的是实证问题，即是否违背独立性，我已经证明了不违背，这就够了，足以表明不懂公理化要求的人不是我而是抛出这个问题的你。至于校数课本里能不能违背独立性，即“怎么做是好的或不好的”，那是规范问题。回答规范问题，要看你的主观目标，反正中小学校数没有把建立公理化体系或对接公理化体系作为编教材和教学的目标，甚至连公理这个词都明确不再使用了。数学基础三大流派，把数学建立在形式化公理系统上只是其中之一，哥德尔不完备定理已经证明希尔伯特设想的公理化是不可能实现的。至于希尔伯特本人，他在《几何基础》虽然证明了他的公理系统满足独立性但没有说这是强制要求，之后提出的“Hilbert program”中也没有独立性的要求（一致性或称相容性还是要的，希尔伯特一贯重视一致性，列入他23个问题中的第2个）。而且，希尔伯特提出公理化系统的背景和意义，绝大多数学完高数的人都讲不出来，还在学习【有明确实际含义的定义】的小学生更不可能理解，这和弗赖登塔尔批判的让小学生学群论一样，最多也就是制造出一批根本不知道自己在做什么的“熟练工“罢了。拿公理化和独立性要求说事，美其名曰更高层次，只是你的一厢情愿罢了

跟你的一厢情愿恰恰相反，校数课本明确把交换律的内容直接放到了定义中（我之前已经贴过图了），同时在讲到运算律时，又明确把交换律单列出来。初中课标明确提出的几何公理有9条，其中欧几里得公设2条。欧几里得公设剩下的3条虽没有明确提出，实际上也是当做公理使用，显然违背独立性。我再引用伍鸿熙的观点，他看了美国的小学校数课本，认为课本里几乎全是公理，几乎找不到知识点是通过【公理——定理】的模式呈现的。所以，要担心自己的观点能否被数学教育界主流接受的是你。

了解了校数课本现状、排除了一厢情愿的数学教育目标，消解乘法交换律也就成了伪问题，其他问题基本还是偷换概念，随便挑两个：

【你30楼的回答根本就无法解答“相同数连加”这样一个定义，跟你后面给出两种表示方法之间的矛盾】因为30楼是针对69楼的问题【那么你如何回答以下问题：相同数a连加b次，为什么跟相同数b连加a次，是相同的表示方式？】，这回只隔了2、3楼，你总不能再说是懒得去看了吧。【那个行列的乘法定义，你自己就已经排除了】更是可笑。你大概不知道北师大课本就是用这个定义乘法的吧，而且这也是笛卡尔之前人类对乘法意义的理解（这是离散版本，连续版本就是几何原本里长a宽b的矩形面积了）。排除一说就更莫名其妙了，为什么要排除？这跟其他校数课本的乘法定义矛盾吗，更抽象吗，更难被低年级小学生理解吗？

【“相同数连加”这个定义，就是我说的有明确含义的定义（可以直接套用在几块钱一斤的苹果买几斤的问题上），而不是纯粹数学定义】那你就是又承认了一遍现在提出公理化体系的要求是和之前明确含义的定义是偷换概念和自相矛盾咯。

whitestone_wu

满爸 发表于 2017-11-24 18:45
【你提出的这个论点。实际上就是承认，在你的这个定义下，乘法交换律不再能被单独提出，而是直接出现在了 ...

【你30楼的回答根本就无法解答“相同数连加”这样一个定义，跟你后面给出两种表示方法之间的矛盾】因为30楼是针对69楼的问题【那么你如何回答以下问题：相同数a连加b次，为什么跟相同数b连加a次，是相同的表示方式？】，这回只隔了2、3楼，你总不能再说是懒得去看了吧。

看不懂，你在说啥？我就在说你30楼不能回答这个问题啊。
“相同数连加”这样一个定义，跟你后面给出两种表示方法之间的矛盾。
相同数a连加b次，为什么跟相同数b连加a次，是相同的表示方式？
以上两个是同一个问题的不同表述，并不是两个问题。你30楼不能回答这个问题。我说得很清楚了，你所谓隔了两三楼的回复是什么？

whitestone_wu

【那个行列的乘法定义，你自己就已经排除了】更是可笑。你大概不知道北师大课本就是用这个定义乘法的吧。
这个回答根本就牛头不对马嘴了。我说你自己排除了，你自己自相矛盾，现在找出来一个课本用这个定义，又想把这个定义捡回来。

以下是你的原话：
【目前小数课本的乘法定义并不是用m排n列的矩形格点引入的，而且定义中已经包含了交换律，并不存在这样讲道理的需求。】
你这是自己打脸把。先承认，然后再说其他的。

whitestone_wu

【校数课本明确把交换律的内容直接放到了定义中（我之前已经贴过图了）】
我找了半天也没找到你贴的图。
我雷锋做到底，贴一个吧。

这里面说的是乘法算式的读法。根本就是回避了定义问题。
我当然不同意这种做法，不然也不需要在这里讨论了。但是这个课本里面也并没有说把乘法定义成这样。如果乘法定义成这样，那么乘法交换律就自然消解了。不能再独立提出。

这里我简单回顾一下我的观点，免得你再随意发挥和歪曲。
1.我不同意课本在引入乘法中的这种处理。
2.我不同意你对课本这种处理的理论解释。
这是两个观点。

如果你对这种处理的解释是像我59楼提出来的那样。那就不存在后面的那么多论述了。
而你对这种处理的理论解释，已经导致了很多矛盾。突出的一点，就是乘法交换律无法再独立引入。这并不是课本的问题，是你的问题。

whitestone_wu

关于公理化体系的独立性问题。我最早是在53楼的最后一句打了一个比方，哪怕去掉这个比方，也不影响整体论述。然后你就在这个比方上不断发挥，其中自己发挥错误的从来不提。但是把我为了方便论述简化的部分不断地深究。
我现在不拉长战线，不去深究这个过程（等主要矛盾告一段落，或者需要的时候，可能我会再梳理一遍）。
我回头看了一下，我58楼的表述其实已经比较完整了。你后面基本上回避了我58楼的主要问题。

第一个问题：
我也同意这里不存在一定要区分或者不区分。但我认为区分比较好。
原因我已经说过了。
再表述一遍：“乘法是对相同数连加的简记”，这样一个定义，就规定了乘法符号所连接的两个数的意义不同。如果对两个数字哪个在前哪个在后强行要求不做规定，就等于去掉了这一层信息。

补充说明：当然区分顺序不是区分意义的充要条件。我后面给了一个不区分顺序，但是区分意义的其他表示形式。但是你始终没有给出一个不区分顺序，又区分意义的定义来。

第二个问题：
另外再解释一遍为啥你的定义不自然也不必要。
这里有顺序的定义是指：5个3的和。
强行塞进了没有顺序的要求是指：可以记为5*3，也可以记为3*5。
为什么说是有顺序的定义，前面已经说了，因为两个数意义不同；为什么说是强行塞进去的，因为只要有5个3的和这样一个定义，自然可以推导出5*3和3*5的结果相同，并不需要（在我看来也不应该）放到定义中去。

补充说明：这就是说你消解了乘法交换律。这里你可能要说，课本就是这样的。那么我强调你跟课本的不同之处。课本可没有说自己做出的是乘法的定义（也可能是根据乘法交换律得出的），但是你在45楼，说这是定义。

Manddy

whitestone_wu 发表于 2017-11-27 10:20
【校数课本明确把交换律的内容直接放到了定义中（我之前已经贴过图了）】
我找了半天也没找到你贴的图。
...

【“相同数连加”这样一个定义，跟你后面给出两种表示方法之间的矛盾。
相同数a连加b次，为什么跟相同数b连加a次，是相同的表示方式？】矛盾与否和相同与否是同一个问题？不相同的事物一定矛盾？基本的逻辑呢？更何况你的第一句话是下结论：两种表示法矛盾，连问题都不是，更谈不上回答。至于第二个问题，30楼很清楚了，相同数a连加b次和相同数b连加a次，不过是同一个图形从不同角度去看。

【那个行列的乘法定义，你自己就已经排除了】逻辑错得一塌糊涂。课本是否采用表述A，和我认不认可A没有必然联系。现在课本的乘法定义用不区分顺序的定义，你不照样不认可吗？我之前没看到北师大版的课本，以为现在的课本都不是用这个定义，但从来没有说不能用这种定义去讨论问题，更没有说这个定义是错的。相反，急急忙忙想排除回避这个定义的人恰恰是你，因为这又是一个出现在课本上的不区分顺序的定义。

【这里面说的是乘法算式的读法。根本就是回避了定义问题。】课本图上明明白白写着“这种加数相同的加法，还可以用乘法表示”，这不是定义是什么？你不是一直一口一个“‘相同数连加‘这个定义“吗？一边断章取义出“读法”、做着“没写XX字样就不算XX”的诡辩。一方面又说反对这样的定义（【我不同意课本在引入乘法中的这种处理】，别告诉我这里的“引入乘法“不是引入乘法定义而是引入读法），累么？

乘法定义中不区分顺序已成为课本主流。你不同意这样处理的理由，不过是你自以为不可违背的公理独立性，所谓“交换律无法被单独提出“、“消解交换律“种种奇谈怪论就来源于此。然而，你的一厢情愿是现行课程标准中设定的目标吗？是中小学数学教育的目标吗？是“低年级刚接触乘法的小学生“应该追求的目标吗？很遗憾，77楼我已经给出了不少回答为“No”的证据，甚至连希尔伯特本人都没有独立性不可违背的表述（虽然你从未能找出反例，但依然欢迎你给出反例）。我所要说明的，是你批评课本定义的那些理由不能成立，至于你主观上认为教材该如何编写，我是完全不关心的。

友情提示：多拿出点数学家、数学教育专家的意见、论著，少一点自己缺乏支撑的一厢情愿。

whitestone_wu

满爸 发表于 2017-11-27 12:46
【“相同数连加”这样一个定义，跟你后面给出两种表示方法之间的矛盾。
相同数a连加b次，为什么跟相同数 ...

你的逻辑错漏百出，而每次我提出，你也都假装没看到，或者干脆发挥到其他地方中去。
【“相同数连加”这样一个定义，跟你后面给出两种表示方法之间的矛盾。矛盾与否和相同与否是同一个问题？】
我说的矛盾是什么跟什么之间的矛盾？是a:“相同数连加”,b：“你后面给出两种表示方法”，a和b之间的矛盾。并不是说两种表示方法之间本身有矛盾。
这个逻辑错误，你先承认下来，再说其他。

【逻辑错得一塌糊涂。课本是否采用表述A，和我认不认可A没有必然联系。】那么你到底认可不认可呢？说清楚啊。
我们再看你原来怎么说的：
【“讲道理”的需求源自定义的不同，目的在于说明没必要做这种繁琐哲学的区分。目前小数课本的乘法定义并不是用m排n列的矩形格点引入的，而且定义中已经包含了交换律，并不存在这样讲道理的需求。】
显然，你认为不同的定义应该讲不同的道理。那么你的道理到底是啥呢？
【30楼很清楚了，相同数a连加b次和相同数b连加a次，不过是同一个图形从不同角度去看。】
这里你又把两个定义混为一谈，认为一个道理就可以同时讲两个定义了。
那么你是不是自己打脸？先承认，然后再谈其他。

这里的道理其实是很清楚的。相同数连加的乘法定义，行列的乘法定义，是两种定义。你无法拿后一种定义的图形说明来解释前一种定义里面出现的问题。

【你不同意这样处理的理由，不过是你自以为不可违背的公理独立性】你要用公理体系，就要遵守起码的公理独立性，这跟公理独立性能不能得到证明，这是两回事。就好像人们曾经怀疑欧几里得第五公设的独立性，在没有得到证明之前，第五公设还是作为公设（当然后来证明了其独立性）。至于你对哥德尔问题的随意发挥，已经超出了这个贴子应该讨论的范围。在主要矛盾阶段性解决之前，我无意在这个问题上深究下去。

当然，你可以不用公理体系。就好像现在课本所采取的方法，人家根本没有说“定义”两个字。虽然我仍然不同意这种处理。我们再来看看当初这个问题是如何被提出的：
【为了给交换律的存在找一个理由而去区别乘法算式的顺序？我套乘法定义（3+3+3+3+3记做3*5或5*3）难道不是步骤，定义难道不是推理的依据？】
提出“定义”这个词，是因为你要坚持你是在“套乘法定义”。可见一开始想要用公理体系的方法套小学课本的是你。
人家课本根本没有想要用公理体系，所以刻意回避了“定义”，

而我并不需要诉诸公理体系，就可以说明为什么我认为乘法有顺序更合理。这我已经在81楼说得很清楚了。再加上70楼的说明。基本已经是我观点的全貌。
后来提到公理体系，是因为你在用公理体系的思路进行论证，我是反驳你的论证才说到公理体系的独立性问题。这个过程我现在不想详细回顾，但并不是不能详细回顾。一回顾又是你的一堆逻辑错误。

whitestone_wu

至于，我批评课本的理由是不是成立呢？我直接拿课本来说。
这个人教版课本，第一幅图是引入了乘法交换律，是四年级课本；第二幅图是引入因数和倍数概念，是五年级课本。
很明显，因为之前故意回避了乘法的定义，这里说明乘法交换律时，居然要用“因数”概念。而因数概念是五年级才引入的。
使用因数定义的乘法，确实不需要区分顺序，这我一开始就承认的了。但是在低年级引入乘法时，不可能用因数概念来定义。于是，人教版课本出现了这样的矛盾之处。

你要说因为这个矛盾就要说这个课本不行。那是不至于。但是，作为在小学低年级引入乘法时，应该有顺序的合理性的说明。已经足够充分了。

alyia

现在数学老师的教法是三个5的和写成3*5

Manddy

whitestone_wu 发表于 2017-11-27 14:36
你的逻辑错漏百出，而每次我提出，你也都假装没看到，或者干脆发挥到其他地方中去。
【“相同数连加” ...

很抱歉，你列举的所谓“我的逻辑错漏”，没有一个能够成立。

【我说的矛盾是什么跟什么之间的矛盾】我已经说过，71楼引用30楼回答的是69楼的问题，至于你在72楼偷换概念提出的新话题，我只需指出是偷换概念即可，没有回答的必要，更没有解释如何用30楼去回答的必要

【你要用公理体系，就要遵守起码的公理独立性】你的一厢情愿，77和82楼已经讲得很清楚了，不赘。

【提出“定义”这个词，是因为你要坚持你是在“套乘法定义”。可见一开始想要用公理体系的方法套小学课本的是你】用了定义就是公理化体系？请不要拿这么低级的谬论贻笑大方。

【这我已经在81楼说得很清楚了】你在81楼提出的两个问题不过是重复早已在60楼和71楼被我批驳过的陈词滥调，不赘

【相同数连加的乘法定义，行列的乘法定义，是两种定义。你无法拿后一种定义的图形说明来解释前一种定义里面出现的问题】你认为无法解释，是因为你忘了加法也需要定义。借用你的逻辑，在刚小学低年级刚引入加法概念时，用物体排列这种有明确含义的定义有什么问题吗？5+5+5的含义不就是类似30楼的图吗？

Manddy

whitestone_wu 发表于 2017-11-27 14:43
至于，我批评课本的理由是不是成立呢？我直接拿课本来说。
这个人教版课本，第一幅图是引入了乘法交换律， ...

【因为之前故意回避了乘法的定义，这里说明乘法交换律时，居然要用“因数”概念。而因数概念是五年级才引入的。使用因数定义的乘法，确实不需要区分顺序……于是，人教版课本出现了这样的矛盾之处。】除了继续没写定义二字就不是定义的谬论之外，所谓人教版出现矛盾之说也不成立。人教版定义乘法时就不区分顺序，这里用因数一词依然没有顺序，何来矛盾？你要说因数一词没有定义就使用，这是可以的，但无关大局，换成定义乘法时的用词“乘数“就没问题了。你如果非要较真，去看北师大版吧。